Funciones por medio de series de Taylor
calcula los cinco primeros polinomios de Taylor de la función f(x)=e^x en el punto x=0
¿Qué conclusión se puede obtener cuando el grado de los polinomios va aumentando?
Gráfica cada uno de los polinomios
2 Respuestas
;)
Hola victor aviles!
Los cinco primeros polinomios serían:
$$\begin{align}&P_1=1+x\\&\\&P_2=1+x+\frac{x^2}{2!}\\&\\&P_3=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}\\&\\&P_4=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}\\&\\&P_5=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\frac{x^5}{120}\end{align}$$
Al aumentar el grado del polinomio este se ajusta más a la exponencial en las proximidades del cero
Saludos
;)
;)
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¡Hola Victor!
La función e^x en x=0 es la más sencilla para calcular sus polinomios de Taylor
Como su derivada es siempre ella misma tenemos que sus derivadas en x=0 son:
$$\begin{align}&f(x)=e^x\implies f(0)=e^0=1\\&\\&f^{(n)}(x)= e^x\implies f^{(n)}(0)=e^0=1\\&\\&\text{Y los polinomios son}\\&\\&P_0(x)=1\\&\\&P_1(x)=1+x\\&\\&P_2(x)=1+x+\frac{x^2}2\\&\\&P_3(x)= 1+x+ \frac{x^2}{2}+ \frac{x^3}{6}\\&\\&P_4(x)= 1+x+ \frac{x^2}{2}+ \frac{x^3}{6}+ \frac{x^4}{24}\\&\\&P_5(x)= 1+x+ \frac{x^2}{2}+ \frac{x^3}{6}+ \frac{x^4}{24}+\frac{x^5}{120}\\&\end{align}$$El Po(x) supongo que lo tendrán en cuenta no lo pondré
Esta es la gráfica
Para que se pudiera apreciar la diferencia de los polinomios he hecho que la función sea 100 veces más pequeña, si no enseguida se disparaba hacia arriba y no podíamos ver nada.
La conclusión está a la vista, cuanto mayor es el grado del polinomio mejor aproxima a la función.
Y eso es todo, sa lu dos.
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La desventaja de achicar tanto la función es que parece que pasa por (0,0), pero no, pasa por (0,1)