¿ Cual es el resultado de estas operaciones(sustituyendo z por x+iy)?

;)
Hola Miriam Navarro!

A)

Im(z/conjz)

$$\begin{align}&\frac{z}{ \overline z}=\frac{x+iy}{x-iy}=\\&\\&\frac{x+iy}{x-iy}·\frac{x+iy}{x+iy}=\frac{x^2+2xyi +y^2i^2}{x^2-y^2i^2}=\\&\\&i^2=-1\\&\\&=\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}+ \frac {2xy}{x^2+y^2}i\\&\\&luego\\&Im(\frac{z}{ \overline z})=\frac {2xy}{x^2+y^2}\\&\\&B)\\&Re(z^4)\\&z^4=(x+yi)^4=binomio\ de \ newton=\\&\\&1x^4+4x^3yi+6x^2(yi)^2+4x(yi)^3+(yi)^4=\\&\\&recuerda \ i^2=-1 \ ;\ i^3=-i\ \ ; \ i^4=1\\&\\&x^4+4x^3yi-6x^2y^2-4xyi+y^4=\\&\\&(x^4-6x^2y^2+y^4)+(4x^3y-4xy)i\\&luego\\&Re(z^4)=x^4-6x^2y^2+y^4\\&\\&C)\\&(Re(z))^4=x^4\end{align}$$

SAludos

;)

;)

Veamos cada caso:

$$\begin{align}&a) Im(\frac{z}{\overline z}) = \text{Veamos primero el cociente}\\&\frac{x+iy}{x-iy}  = \frac{x+iy}{x-iy} \cdot \frac{x+iy}{x+iy} =\\&\frac{x^2+2iy+(iy)^2}{x^2-(iy)^2}=\frac{(x^2-y^2)+i 2y}{x^2+y^2}=\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}+i \frac{2y}{x^2+y^2}\\&Retomando\\&Im(\frac{z}{\overline z}) =\frac{2y}{x^2+y^2}\\&---\\&b) Re(z^4) = Re((x+iy)^4)=Re((x+iy)^2\cdot (x+iy)^2)=\\&Re((x^2-y^2+i 2y)\cdot (x^2-y^2+i 2y)) = Re(x^4+y^4-2y^3-4y^2-2x2y^2+i(2xy-2y^3+2x^2y))=\\&x^4+y^4-2y^3-4y^2-2x2y^2\\&---\\&c) (Re(z))^4 = (Re(x+iy)^4)=x^4\end{align}$$

y eso es todo

Salu2

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¡Hola Miriam!

$$\begin{align}&A)\\&\\&Im\left( \frac z{\overline z} \right)=Im\left( \frac{x+iy}{x-iy}\right)=\\&\\&Im\left( \frac{x+iy}{x-iy}·\frac{x+iy}{x+iy}\right)=Im\left( \frac{(x+iy)^2}{x^2-(iy)^2}\right)=\\&\\&Im\left( \frac{x^2+2ixy+(iy)^2}{x^2-i^2y^2}\right)=Im\left( \frac{x^2+2ixy-y^2}{x^2+y^2}\right)=\\&\\&\frac{2xy}{x^2+y^2}\\&\\&\\&\\&B)  \\&\\&Re\left((x+iy)^4\right)= Re(x^4+4x^3·iy+6x^2(iy)^2+4x(iy)^3+(iy)^4)=\\&\\&Re(x^4+4ix^3y+6i^2x^2y^2+4i^3xy^3+i^4y^4)=\\&\\&\text{Tenemos}\\&\\&i^2=-1\\&i^3= -1·i = -i\\&i^4 =-i·i=-i^2=-(-1)=1\\&\\&=Re(x^4+4ix^3y-6x^2y^2-4ixy^3+y^4)=\\&\\&x^4-6x^2y^2+y^4\\&\\&\\&C)  \\&\\&[Re(x+iy)]^4 = x^4\end{align}$$

Y eso es todo, sa lu dos.

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