¿Cuál es la demostración mediante el proceso de reducción a lo absurdo que raíz cubica de 7 es irracional?
Se sabe que raíz cubica de 7 es irracional pero,¿cuál es su demostración mediante el proceso matemático de reducción a lo absurdo?
2 Respuestas
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Hola Miriam Navarro!
Supongamos que no lo fuera, entonces sería racional y habría dos números a y b, enteros y primos entre si tales que
$$\begin{align}&\frac{a}{b}= \sqrt[3]{7}\\&\\&luego\\&\\&\frac{a^3}{b^3}=7\\&\\&luego\\&a^3=7b^3\\&\end{align}$$con lo cual
$$\begin{align}&a^3 \ múltiplo \ de \ 7 , que \ es \primo\\&\end{align}$$y en consecuencia , a también lo sería. Luego existiría c tal que
$$\begin{align}&(7c)^3=b^3\end{align}$$lo cual significaría que b^3 sería múltiplo de 7, y también lo sería b, lo cual es absurdo porque a yb son primos entre si.
Luego la raíz cubica de 7 no es racional, y por tanto es irracional
Saludos
;)
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¡Hola Miriam!
Supongamos que es racional. Entonces existirán dos números p y q primos entre si tales que raíz(7)=p/q
Es importante esto de que son primos entre sí, toda fracción se puede simplificar hasta que el numerador y denominador sean primos entre sí.
$$\begin{align}&\sqrt 7= \frac pq\\&\\&7= \frac{p^2}{q^2}\\&\\&7p^2=q^2\\&\\&\text{Luego } q^2 \text{ debe ser múltiplo de 7, pero por ser}\\&\text{un cuadrado será múltiplo de } 7^2\\&\text{Y entonces q es múltiplo de 7}\\&\\&7p^2=7^2·r^2\\&\\&p^2=7r^2\\&\\&\text{entonces }p^2 \text { debe ser múltiplo de 7, pero por ser}\\&\text{un cuadrado es múltiplo de }7^2\text{ y entonces p es}\\&\text{múltiplo de 7}\end{align}$$Hemos llegado a la conclusión de que p y q son múltiplos de 7, pero esto es absurdo, ya que eran primos entre si y por lo tanto no tenían ningún divisor común. Luego no existe numero racional cuyo valor sea raíz de 7
Y eso es todo, sa lu dos.
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Perdona, no me di cuenta que era la raíz cúbica. Ahora lo hago bien si me deja la página porque esta fallando a ratos.
Sea la raíz cúbica de 7 un número racional p/q con p y q primos entre sí.
$$\begin{align}&\sqrt[3] 7= \frac pq\\&\\&7= \frac{p^3}{q^3}\\&\\&7p^3=q^3\\&\\&\text{Luego } q^3 \text{ debe ser múltiplo de 7, pero por ser}\\&\text{un cubo será múltiplo de } 7^3\\&\text{Y entonces q es múltiplo de 7}\\&\\&7p^3=7^3·r^2\\&\\&p^3=7^2r^2\\&\\&\text{entonces }p^3 \text { debe ser múltiplo de } 7^2\text { pero por ser}\\&\text{un cubo es múltiplo de al menos }7^3\text{ y entonces p es}\\&\text{múltiplo de 7}\end{align}$$Hemos llegado a la conclusión de que p y q son múltiplos de 7, pero esto es absurdo, ya que eran primos entre si y por lo tanto no tenían ningún divisor común. Luego no existe numero racional cuyo valor sea raíz cúbica de 7
Sa lu dos.
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