Demostrar que la ecuación representa una parábola. Determine: vértice, foco y directriz

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¡Hola Fabiancho!

Hay que ver si la ecuación se puede poner de la forma

(x-h)^2 = 2p(y-k)

o

(y-k)^2 = 2p(x-h)

En otros libros en vez de 2 es 4 pero yo usaré el 2 de toda mi vida

4x^2 - 20x - 24y + 97 = 0

Bueno, ya tenemos claro que la x sea la que tenga el cuadrado y que existirá valor para h distinto de 0 porque hay un término con la x normal

Aunque nos metamos en fracciones lo mejor es dividir todo por 4 para que la x^2 quede con coeficiente 1

Esta es la gráfica:

Y eso es todo, sa lu dos.

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;)
Hola fabiancho!

No por llevar la contraria al profesor Valero, pero yo suelo usar la forma

$$\begin{align}&x^2=4py\\&donde \\&F=(0,p)\\&d: y=-p\\&\\&(4x^2-20x)-24y+97=0\\&\\&completando \ cuadrados:\\&\\&4(x^2-5x)-24y+97=0\\&4(x-\frac{5}{2})^2-\frac{100}{4}-24y+97=0\\&\\&4(x- \frac{5}{2})^2=24y-72\\&\\&\\&4(x- \frac{5}{2})^2=24(y-3)\\&\\&\\&(x- \frac{5}{2})^2=6(y-3)\\&\\&\\&(x- \frac{5}{2})^2=4·\frac{3}{2}(y-3)\\&\\&p=\frac{3}{2} (distancia \ focal)\end{align}$$

Es una parábola desplazada de eje vertical y  hacia arriba.

$$\begin{align}&V=(\frac{5}{2},3)\\&\\&F=(\frac{5}{2},p+3)=(\frac{5}{2}+\frac{3}{2}+3)=(\frac{5}{2},\frac{9}{2})\\&\\&d: y=-p+3\\&y=-\frac{3}{2}+3\\&y=\frac{3}{2}\end{align}$$

saludos

;)

;)