Como resolver el siguiente problema de ecuaciones diferenciales
Inicialmente un cultivo tiene un número𝑃𝑜de bacterias. En𝑡=1 ℎ se determina que el número de bacterias es 4/3 𝑃𝑜. Si la razón de crecimiento es proporcional al número de bacterias𝑃(𝑡) presentes en el tiempo t, determine el tiempo necesario para que se duplique el número de bacterias
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Fernanda!
La fórmula del número de bacterias en el instante t es:
$$\begin{align}&P(t)=P_0e^{kt}\\&\\&\text{Para determinar el valor de k es para lo que}\\&\text{necesitamos el dato que nos dan}\\&\\&P(1)=\frac 43 Po\\&\\&\text{Como }\\&\\&P(1)= P_0e^{k·1}=P_0e^k\\&\\&\text{tendremos}\\&\\&P_0e^k=\frac 43P_0\\&\\&e^k= \frac{4}{3}\\&\\&\text{Casi mejor si no despejamos k, tenemos }e^k\\&\text{que es mucho mejor, con ello}\\&\\&P(t)=P_0e^{kt}= P_0(e^k)t=P_0\left(\frac 43 \right)^t\\&\\&\text{Esa es la fórmula mejor que se puede poner}\\&\\&\text{Entonces para duplicarse la población será}\\&\\&P(t)=2P_0\\&\\&P_0\left(\frac 43 \right)^t=2P_0\\&\\&\left(\frac 43 \right)^t=2\\&\\&\text{extrayendo logaritmos}\\&\\&t·ln\left(\frac 43\right)= ln\, 2\\&\\&t=\frac{ln\,2}{ln \left(\frac 43\right)}=2.409442084\;h\end{align}$$Y eso es todo. espero que te sirva, no olvides valorar la respuesta.
Sa lu dos.
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