Calcula las siguientes operaciones de números complejos:
A) (2+i)^5
B) (13)/(|2-3i)
C)((3+2i)^2)/((2+3i)^3)
D)i((raiz cuadrada de 3)-i)×(1+(raiz cuadrada de 3)×i
E)(1+i)^8
F)(1+i)^-i
G)((raiz cuadrada de 3) +i)^-9
2 Respuestas
$$\begin{align}& \end{align}$$Son muchos ejercicios para una sola pregunta, haré los primeros 2
$$\begin{align}&a) (2+i)^5\\&\text{Para las potencias (salvo que sea 2), conviene tener el complejo expresado en forma polar, ya que:}\\&\text{Sea el complejo }\ z=P_{\alpha} \text{ siendo P el módulo de z, } \alpha \text{ su argumento. Entonces:}\\&z^n = P^n_{n \cdot \alpha}\\&z=2+i\\&módulo |z| = \sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}\\&arg(z) \to \alpha = arctg(\frac{1}{2})=0.46364761\\&|z^5|=(\sqrt{5})^5=5^{5/2}\\&arg(z)^5=5\cdot 0.46364761=2.31823805 \text{Como está en el intervalo [0, }2 \pi) \text{ lo dejamos así}\\&z^5=5^{5/2}_{2.31823805}\\&---\\&b)\text{No entiendo que es es línea antes del 2, así que supongo que fue un error de teclado}\\&\frac{13}{2-3i} \text{en este caso multiplicamos y dividimos por el conjugado del denominador}\\&\frac{13}{2-3i}\cdot \frac{2+3i}{2+3i}= \frac{26+39i}{2^2-3^2i^2} \text{sabemos que }i^2=-1\\&=\frac{26+39i}{4+9}==\frac{26+39i}{13}=2+3i\end{align}$$Te dejo los otros para que los resuelva otro experto o envíalos en preguntas separadas
Salu2
¿Puede ser aue el ejercicio a este mal?el arctg de 1/2 no me da eso en la calculadora
En el ejercicio b me ha faltado otra línea después del 3i
Cuando uses la calculadora, asegurate que esté en modo "Radianes" (normalmente deberías leer 'rad' en la pantalla), ya que cuando trabajas con complejos debes asegurar trabajar en ese modo y no en modo "Degrees" (que sería el modo que lo ves en el colegio, donde una vuelta completa serían 360°)
Si necesitás hacer la conversión, tenés que saber que 2PI = 360°, o directamente PI = 180% y a partir de ahí haces la regla de 3 que necesitas (ej/ 0.5 = 28° 6479)
Salu2
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¡Hola Miriam!
Yo haré los dos siguientes:
$$\begin{align}&C)\quad \frac{(3+2i)^2}{(2+3i)^3}=\\&\\&\text{aplicamos el binomio de Newton}\\&\\&\frac{9+12i+4i^2}{8+36i+54i^2+27i^3}=\\&\\&\text{Sabemos que }i^2=-1\\&\text{y por lo tanto }i^3=-1·i=-i\\&\\&\frac{9+12i-4}{8+36i-54-27i}=\frac{5+12i}{-46+9i}=\\&\\&\text{multiplicamos y dividimos por }-46-9i=\\&\\&\frac{(5+12i)(-46-9i)}{46^2-81i^2}\\&\\&\frac{-230-45i -552i -108i^2}{2116+81}=\\&\\&\frac{-230-45i -552i +108}{2197}=\\&\\&-\frac{122}{2197}-\frac{597}{2197}i\\&\\&\\&\\&D) \quad i(\sqrt 3-i)(1+\sqrt 3 \;i)=\\&\\&(\sqrt 3\;i-i^2)(1+\sqrt 3 \;i)=\\&\\&(1+\sqrt 3 \;i)(1+ \sqrt 3\;i)=\\&\\&(1+\sqrt 3\;i)^2=\\&\\&1+2 \sqrt 3\;i+3i^2=\\&\\&1+2 \sqrt 3i-3=\\&\\&-2+2 \sqrt 3\;i\end{align}$$Y eso es todo, sa lu dos.
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Podrías hacer el ejercicio c en forma polar?
Yo respetaba la forma en la que os daban, es lo que se suele hacer a menos que te digan que uses otra forma.
Es que no son ángulos famosos, no vas a adelantar nada usando la dorma polar.
$$\begin{align}&(3+2i)=\sqrt{13}_{arctg \frac 23}\\&(3+2i)^2=13_{\;2·arctg \frac 23}\\&\\&(2+3i)= \sqrt{13} _{arctg \frac 32}\\&\\&(2+3i)^3= \sqrt{13^3}_{\;3·arctg \frac 32} \\&\\&\frac{13_{\;2·arctg \frac 23}}{\sqrt{13^3}_{\;3·arctg \frac 32} }=\left(\frac{1}{\sqrt {13}} \right)_{\;2 ·arctg \frac 23-3·arctg \frac 32}=\\&\\&\left(\frac{\sqrt {13}}{13} \right)_{\;2 ·arctg \frac 23-3·arctg \frac 32}\end{align}$$Y eso es todo, he comprobado que el módulo es el mismo y el ángulo del polar es -101.5496624º y el del binomial también pues aun cuando la calculadora da 78.45033763º hay que tener en cuenta que es un ángulo del tercer cuadrante que podríamos expresar restándole 180º o sumándole 180º y da el mismo que para la forma polar.
Saludos.
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