¿Cómo resolver esta ecuación diferencial?
Espero puedan ayudarme con este problema de una ecuacion diferencial:
$$\begin{align}&(y-2x)dx+(3x-4y)dy=0\end{align}$$
Respuesta de Lucas m
2
;)
Hola monsse 483!
Yo te lo acabo:
$$\begin{align}&\int \frac{3-4u}{2-4u+4^2}du=\int \frac{dx}{x}\\&\\&\int \frac{3-4u}{2-4u+4^2}du=\int \frac{3}{2-4u+u^2}du- \int \frac{4u}{2-4u+u^2}du\\&\\&I_1=\int \frac{3}{2-4u+u^2}du=3 \int \frac{du}{(u-2)^2-2}= \frac{3}{2} \int \frac{du}{\frac{(u-2)^2}{2}-1}=\\&\\&\frac{3}{2} \int \frac {du}{(\frac{u-2}{ \sqrt 2})^2-1}=\\&\\&\frac{u-2}{ \sqrt 2}=v \Rightarrow \frac{1}{\sqrt 2} du=dv\\&\\&=\frac{3}{2} \int \frac{ \sqrt 2 dv}{v^2-1}=\frac{-3}{\sqrt 2} arctanh \Big(\frac{u-2}{ \sqrt 2 }\Big)=\frac{-3 \sqrt 2}{ 2} arctanh \Big(\frac{u-2}{ \sqrt 2 }\Big)\\&\\&\int \frac{4u}{(u-2)^2-2}du=\\&\\&u-2=v \Rightarrow du=dv\\&\\&=4 \int \frac{2+v}{v^2-2}dv= 4 \int \frac{2}{v^2-2}dv+ \int \frac{4 v}{v^2-2} dv=4I_2+I_3\\&\\&I_2=\int \frac{2}{v^2-2}dv= \int \frac{1}{\frac{v^2}{2}-1}dv=\int \frac{dv}{ \Big( \frac{v}{ \sqrt 2} \Big)^2-1}=- \sqrt 2 arctanh \frac{v}{\sqrt 2}=\\&\\&- \sqrt 2 arc tanh \Big(\frac{u-2}{\sqrt 2} \Big)\\&\\&I_3= \int \frac{4v}{v^2-2}dv=2 \int \frac{2v}{v^2-2}=2 ln |v^2-2|=2 ln |(u-2)^2-2|\\&\\&Luego \ juntándolo \ todo:\\&\int \frac{3-4u}{2-4u+4^2}du=\int \frac{dx}{x}\\&\\&I_1-4I_2+I_3= lnx +lnC\\&\\&-\frac{3 \sqrt 2}{2} arctanh \Big(\frac{u-2}{\sqrt 2} \Big)+4 \sqrt 2 arctanh \Big(\frac{u-2}{\sqrt 2} \Big)-2 ln |(u-2)^2-2|=lnCx\\&\\&\Bigg(- \frac{3 \sqrt 2}{2}+4 \sqrt 2 \Bigg) arctanh \Big(\frac{u-2}{\sqrt 2} \Big)-2 ln |(u-2)^2-2 |= lnCx\\&\\&\frac{5 \sqrt 2}{2} arctanh \Big(\frac{u-2}{\sqrt 2} \Big)-2 ln |(u-2)^2-2 |= lnCx\\&\\&\\&\end{align}$$saludos
;)
;)
1 respuesta más de otro experto
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
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¡Hola Monse483!
Es una ecuación homogénea.
$$\begin{align}&(y-2x)dx+(3x-4y)dy=0\\&\\&\\&(3x-4y)dy= -(y-2x)dx\\&\\&\frac {dy}{dx}=\frac{2x-y}{3x-4y}\\&\\&\text{dividimos todo por x}\\&\\&\frac {dy}{dx}=\frac{2-\frac yx}{3-4 \frac yx}\\&\\&\\&\text{Hacemos el cambio}\\&\\&u =\frac yx \implies y=ux\\&\\&\frac{dy}{dx}=\frac {du}{dx}·x+u\\&\\&\frac {du}{dx}·x+u=\frac{2-u}{3-4 u}\\&\\&\frac {du}{dx}·x=\frac{2-u}{3-4 u}-u=\frac{2-u-3u+4u^2}{3-4u}\\&\\&\frac{du}{dx}·x =\frac{2-4u+4u^2}{3-4u}\\&\\&\frac{3-4u}{2-4u+4u^2}du=\frac{dx}x\end{align}$$Y lo dejo aquí, la integral no es muy dificil pero cuesta hacerla, espero que la puedas terminar.
Saludos.
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De nuevo, muchas Gracias :)
Esa integral es bastante complicadilla, cualquiera que se ponga a hacerla tiene mi admiración. No obstante, voy a hacerla ya que veo que Lucas no ha trascrito bien los datos.
$$\begin{align}&\int \frac{3-4u}{2-4u+4u^2}du=\\&\\&-\frac 12\int \frac{8u-6}{4u^2-4u+2}du=\\&\\&-\frac 12\left(\int \frac{8u-4}{4u^2-4u+2}du - \int \frac {2}{4u^2-4u+2}du\right)=\\&\\&-\frac 12 ln|4u^2-4u+2|+\int \frac {du}{4u^2-4u+2}=\\&\\&\text{Aquí se puede hacer un truquillo}\\&\\&-\frac 12\left(ln|2u^2-2u+1|+ln\,2\right)+\frac 14\int \frac{du}{u^2-u+\frac 12}=\\&\\&-\frac 12ln|2u^2-2u+1|-\frac 12 ln\,2+ \frac 14\int \frac{du}{\left(u-\frac 12\right)^2- \frac 14+\frac 12}=\\&\\&-\frac 12ln\,2 \quad \text{ es una constante, y la integral ya tendrá una }\\&\text{hermosa C donde irán todas las constantes, luego sobra}\\&\\&-\frac 12ln|2u^2-2u+1|+ \frac 14 \int \frac{du}{\left(u-\frac 12\right)^2+\frac 14}=\\&\\&-\frac 12ln|2u^2-2u+1|+ \frac 14 \int \frac{4\;du}{4\left(u-\frac 12\right)^2+1}=\\&\\&-\frac 12ln|2u^2-2u+1|+ \int \frac{\;du}{\left(2u-1\right)^2+1}=\\&\\&-\frac 12ln|2u^2-2u+1|+ \frac 12 \int \frac{2\;du}{\left(2u-1\right)^2+1}=\\&\\&-\frac 12ln|2u^2-2u+1|+\frac 12arctg(2u-1)\\&\\&\text{Luego la solución de la ecuación es}\\&\\&-\frac 12ln|2u^2-2u+1|+\frac 12arctg(2u-1)=ln x+ln\,C\\&\\&\text{Como }u=\frac yx\\&\\&-\frac 12ln\bigg|\frac {2y^2}{x^2}-\frac {2y}x+1\bigg|+\frac 12arctg\bigg(\frac{2y}x-1\bigg)=ln |Cx|\end{align}$$Y eso es todo, sa lu dos.
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¡Gracias!, esta fue una de las 6 preguntas de un antiguo examen...
¡Gracias! Esta fue una de las 6 preguntas de un antiguo examen...
Pues vaya preguntita, es facilísimo confundirse. Espero que las otras cinco no fueran tan largas y complicadas.