Como demuestro que diagonales de rombo

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Hola Luzbar!
Se puede demostrar también con vectores. Sean los vectores construidos sobre los lados y diagonales del rombo:

Para demostrar que son perpendiculares hay que demostrar que el producto escalar de los vectores( en lugar de la flecha de vector los vectores losescribire en negrita)

AC y BD da cero:

De la construcción tenemos:

AC·BD=(AB+BC)·(BC+CD)=(AB+BC)·(BC-AB)=AB·BC-AB·AB+BC·BC-BC·AB=

=BC·BC-AB·AB=|BC|^2-|AB|^2=L^2-L^2=0

L es lo que mide el lado, y coincide con el módulo de los vecgtores sobre los lados.

Como el producto escalar da  cero, las diagonales son perpendiculares

dem2:

Se cumplen las dos sumas siguientes, del dibujo:

AC=AB+BC

AB+BD=AD

Despejando el vector AB de las dos:

AB=AC-BC

AB=AD-BD

Igualando:

AC-BC=AD-BD

AC+BD=AD+BD

AC+BD=2·AD      (AD=BD)tienen el mismo módulo dirección y sentido

De donde se deduce:

\

$$\begin{align}&\vec{AD}=\frac{\vec{AC}+ \vec{BD}}{2}\end{align}$$

esta última igualdad nos dice que el lado vector AD es la suma de la  mitad de los vectores diagonales, luego se cortan en el punto medio

SAludos

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¡Gracias! muchisimas gracias me fue super util

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¡Hola Luzbar!

Habría que ver que tipo de geometría estás estudiando precisamente.

En un rombo los cuatro lados miden lo mismo. Luego si cortas con una diagonal tienes dos triángulos isósceles simétricos y si cortas con la otra otros dos triángulos isósceles simétricos.

En un triángulo isósceles la altura divide al triangulo en dos exactamente iguales, cortando a la base por la mitad, luego entre una altura y la altura simétrica tenemos una diagonal. Y como la altura es perpendicular a la base que era la otra diagonal, entonces las diagonales son perpendiculares.

La diagonal que hacía de base se ha cortado por la mitas ya que el triangulo isósceles se parte en dos iguales por la altura, y la diagonal que ha surgido al trazar la altura se corta por la mitad porque los triángulos isósceles eran simétricos.

Otra forma de verlo es que considerando una diagonal como que tiene los vértices A y C, los vértices B y D equidistan de ellos luego están en la mediatriz, y entre B y D determinan la mediatriz que es perpendicular al segmento AC, luego las diagonales son perpendiculares. Llamando E al punto donde se cortan tendremos AE = EC por ser E un punto de la mediatriz de AC. Y las distancias BE y ED deben ser iguales, ya que de los contrario no medirían lo mismo los lados cuya distancia debe cumplir el teoremas de Pitagoras:

AB^2 = AE^2 + BE^2

AD^2 = AE^2 + DE^2

como AB=AD

AE^2 + BE^2 = AE^2 + DE^2

BE^2 = DE^2

BE = DE

Y eso es todo saludos.

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¡Gracias! muchas gracias excelente