Una vez calculadas las 4 raices de z^4+9=0...

;)
Hola Miriam!

$$\begin{align}&z=\sqrt[4]{-9}=\sqrt[4] {9}_{180º}=\sqrt 3_{\alpha}\\&\\&\alpha=\frac{180º+k360º}{4}\\&\\&k=0 \rightarrow  \alpha=45º \rightarrow z_1=\sqrt 3(cos45º+isen45º)=\sqrt 3(\frac{\sqrt 2}{2}+ \frac{\sqrt 2}{2} i)\\&\\&k=1 \rightarrow \alpha=135º \rightarrow z_2=\sqrt 3(cos135º+isen135º)=\sqrt 3(-\frac{\sqrt 2}{2}+ \frac{\sqrt 2}{2} i)\\&\\&k=2 \rightarrow \alpha=225º \rightarrow z_3=\sqrt 3(cos225º+isen225º)=\sqrt 3(-\frac{\sqrt 2}{2}-\frac{\sqrt 2}{2} i)\\&\\&k=3 \rightarrow \alpha=315º \rightarrow z_4=\sqrt 3(cos315º+isen315º)=\sqrt 3(\frac{\sqrt 2}{2}- \frac{\sqrt 2}{2} i)\\&\\&z^4+9=P_·Q=[(z-z_1)(z-z_4)][(z-z_2)(z-z_3)]\\&\\&agrupamos \ con \ las \ raices \ conjugadas:\\&P=(z-z_1)(z-z_4)=\Big (z-\frac{\sqrt 6}{2}- \frac{ \sqrt 6}{2}i\Big)\Big (z-\frac{\sqrt 6}{2}+ \frac{ \sqrt 6}{2}i\Big)\\&\\&\Big [\Big(z-\frac{\sqrt 6}{2}\Big)- \frac{ \sqrt 6}{2}i\Big]\Big[ \Big (z-\frac{\sqrt 6}{2}\Big)+ \frac{ \sqrt 6}{2}i\Big]=A^2-B^2=\\&\\&z^2- \sqrt 6 z +\frac{3}{2}-\frac{6}{4}i^2=z^2- \sqrt 6 z+ \frac{3}{2}+ \frac{3}{2}=z^2-\sqrt 6 z+3\\&\\&Q=(z-z_2)(z-z_3)=\Big (z+\frac{\sqrt 6}{2}- \frac{ \sqrt 6}{2}i\Big)\Big (z+\frac{\sqrt 6}{2}+ \frac{ \sqrt 6}{2}i\Big)\\&\\&\Big [\Big(z+\frac{\sqrt 6}{2}\Big)- \frac{ \sqrt 6}{2}i\Big]\Big[ \Big (z+\frac{\sqrt 6}{2}\Big)+ \frac{ \sqrt 6}{2}i\Big]=A^2-B^2=\\&\\&z^2+\sqrt 6 z +\frac{3}{2}-\frac{6}{4}i^2=z^2+ \sqrt 6 z+ \frac{3}{2}+ \frac{3}{2}=z^2+\sqrt 6 z+3\end{align}$$

espero que te sirva

! Que verano más complejo llevas!

Saludos

;)

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¡Hola Miriam!

Calculamos primero las raíces:

$$\begin{align}&z^4+9=0\\&\\&z^4=-9\\&\\&\text{Lo pasamos a polar}\\&\\&z^4=9_{180º}\\&\\&\text{Calculamos las raices cuartas}\\&\\&r_1= \sqrt 3_{45º} =  \sqrt 3·\left(\frac{\sqrt 2}{2}+i \frac {\sqrt 2}{2}  \right)=\frac{\sqrt 6}{2}+i \frac {\sqrt 6}{2}\\&\\&r_2= \sqrt 3_{135º}=-\frac{\sqrt 6}{2}+i \frac {\sqrt 6}{2}\\&\\&r_3=\sqrt 3_{225º}= -\frac{\sqrt 6}{2}-i \frac {\sqrt 6}{2}\\&\\&r_4=\sqrt 3_{315º}=\frac{\sqrt 6}{2}+-i \frac {\sqrt 6}{2}\\&\\&\text{Hagamos}\\&\\&z^4+9=[(z-r_1)(z-r_4)]·[(z-r_2)(z-r_3)]=\\&\\&\\&\left(\left[\left(z-\frac{\sqrt 6}{2}\right)-i \frac {\sqrt 6}{2}  \right]·\left[\left(z-\frac{\sqrt 6}{2}\right)+i \frac {\sqrt 6}{2}  \right]\right)·\\&·\left(\left[\left(z+\frac{\sqrt 6}{2}\right)-i \frac {\sqrt 6}{2}  \right]·\left[\left(z+\frac{\sqrt 6}{2}\right)+i \frac {\sqrt 6}{2}  \right]\right)=\\&\\&\left[\left(z-\frac{\sqrt 6}{2}\right)^2+\frac 32\right]·\left[\left(z+\frac{\sqrt 6}{2}\right)^2+\frac 32\right]=\\&\\&\left(z^2+\frac 32-z \sqrt 6+\frac 32\right)·\left(z^2+\frac 32+z \sqrt 6+\frac 32\right)=\\&\\&(z^2+3-z \sqrt 6)(z^2+3+z \sqrt 6)\\&\\&\\&\\&\text{Esa es la respuesta, la comprobamos haciendo la operación}\\&\\&z^4+6z^2+9-6z^2=z^4+9\\&\\&\text{Está bien}\\&\\&\\&\end{align}$$

Y eso es todo, saludos.

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