2.- Sea V el conjunto de pares ordenados de números reales. Si (a1, a2) y (b1, b2) son elementos de V y c es un escalar,

;)
Hola Omar!

Para que sea espacio vectorial se han de cumplir las propiedades

Para la suma

1. u+(v+w)=(u+v)+w   asociativa

2.  u+v=v+u     conmutativa

3.   0+v=v      (elemento neutro)

4.  -v      (existencia del elemento opuesto    v+(-v)=0

Para el producto por escalares

5.   c(d v) =(cd) v   (asociativa mixta)

6. (c+d)v= cv+dv    (distributiva respecto la suma de escalares)

7. c(u+v)=cu+cv    (distributiva respecto la suma de vectores)

8. 1·v=v    (elemento unidad)

Las de la suma se cumplen evidentemente, ya que está definida en forma natural

Así por ejemplo:

2. La conmutativa

$$\begin{align}&(u_1,u_2)+(v_1,v_2)=(u_1+v_1,u_2+v_2)\\&(v_1,v_2)+(u_1,u_2)=(v_1+v_2,v_2+u_2)\\&son \ iguales\\&3.-\\&elemento \ neutro\\&(0,0)+(v_1,v_2)=(v_1,v_2)\\&4\\&el \ opuesto:\\&(v_1,v_2)+(-v_1,-v_2)=(0,0)\\&\\&\end{align}$$

a continuación se comprovarían las del producto:

La última evidentemente no se cumple:

8.

$$\begin{align}&1(v_1,v_2)=(0,v_2) \neq(v_1,v_2)\end{align}$$

6. tampoco se cumple:

$$\begin{align}&(c+d)v=(c+d)(v_1,v_2)=(0,v_2)\\&\\&cv+dv=(0,v_2)+(0,v_2)=(0,2v_2)\end{align}$$

No es un espacio vectorial

Saludos

;)

;)