Álgebra abstracta...demostración de una aplicación de un isomorfismo!
El enunciado propuesto es tal cual lo escribo a continuación:
Definicion 1.Si H y K son grupos, el producto directo [externo] de H y K denotado como H x K, es el conjunto de todos los pares ordenados (h,k) tales que h∈H h y k∈H con la operacion binaria: (h,k)(h´,k´)=(hh´,kk´)
Revise la propiedad de que G × H ≅ H ×G. Demuestre que efectivamente la aplicación φ=G×H → H×G es un isomorfismo, tenga cuidado en los detalles, en especifico en la definición del morfismo.
1 respuesta
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¡Hola Zankass!
Esta bien claro que el isomorfismo no puede ser otro que este:
φ=G×H → H×G
(g, h) → (h, g)
Demostramos primero que es un morfismo y luego que es monomorfismo y epimorfismo.
Supongo que estaréis usando esa notación al revés donde se pone delante el elemento y detrás la función.
Será morfismo si:
$$\begin{align}&((g_1,h_1)(g_2,h_2))\varphi=(g_1,h_1)\varphi·(g_2,h_2)\varphi\\&\\&((g_1,h_1)(g_2,h_2))\varphi=(g_1g_2,h_1h_2)\varphi=(h_1h_2,g_1g_2)\\&\\&(g_1,h_1)\varphi·(g_2,h_2)\varphi= (h_1,g_1)·(h_2,g_2)=(h_1h_2,g_1g_2)\\&\\&\text{Luego se cumple}\\&\\&2) \text{ Es monomorfismo si }\\&\\&(g_1,h_1)\varphi =(g_2,h_2)\varphi \implies (g_1,h_1)=(g_2,h_2)\\&\\&(h_1,g_1)=(h_2,g_2) \implies h_1=h_2 \;y\;g_1=g_2\implies(g_1,h_1)=(g_2,h_2)\\&\\&\\&3) \text{Es epimorfismo si }\\&\\&\forall (h,g)\in H\times G \; \exists \;(g_1,h_1)\in G\times H\;t.q. (g_1,h_1)\varphi=(g,h)\\&\\&\text{Y está bien claro tomaremos}\\&(g_1,h_1)=(g,h)\\&\\&\text{Con lo cual}\\&(g_1,h_1)\varphi=(g,h)\varphi=(h,g)\end{align}$$Y eso es todo, sa lu dos.
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