La derivada ¿Razón de cambio?
La solución debe incluir la explicación del proceso paso por paso hasta llegar al resultado
- En una librería en la Ciudad de México, cuando el precio de venta es de $110.00 se venden 20 libros, pero al disminuir el precio a $100 se incrementa la venta a 50 libros, ¿cuál es la razón de cambio promedio de las ventas mensuales con respecto al precio?
- Si se lanza una pelota en forma vertical hacia arriba con una velocidad de 20 m/s, entonces su altura con respecto al suelo después de t segundos es h(t)= 20t –4.9t^2 metros.
¿Cuál es su velocidad después de 1 segundo?
¿Cuándo alcanza la pelota una velocidad de 5 m/s?
¿Cuál es la altura máxima que alcanza la pelota?
¿Cuál es la velocidad de la pelota cuando está 12 metros arriba del suelo?
1 Respuesta
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¡Hola Nancy!
La razón de cambio promedio de una función respecto de su variable es el incremento de la función dividido entre el incremento de la variable. Aquí la función será el número de libros y la variable el precio ya que nos dicen razón de cambio respecto al precio, y ese respecto indica la variable independiente.
Entonces, llamando v(p) al número de ventas tendremos
r = [v(110) - v(100) ] / (110-100) = (20-50) / 10 = -30/10 = -3 libros/dolar
Esto se lle como que por cada unidad que aumenta el precio disminuye en 3 unidades el número de libros vendidos.
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La velocidad es la derivada de la posición respecto del tiempo.
v(t) = h'(t) = 20 - 9.8t
v(1) = 20 - 9.8 · 1 = 20 - 9.8 = 10.2 m/s
Alcanzará 5 m/s cuando
5 = 20 - 9.8 t
9.8 t = 20 - 5 = 15
t = 15 / 9.8 = 1.5306 s
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La altura máxima es cuando la velocidad es 0
0 = 20 - 9.8t
9.8t = 20
t = 20/9.8 s
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Y la altura en ese tiempo es
h(20/9.8) = 20 · 20/9.8 - 4.9 · (20/9.8)^2 =
400 / 9.8 - 400 / 19.6 = (800-400)/19.6 =
400/ 19. 6 = 20.40816 m
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Y la velocidad cuando la pelota esta a 12 m
Primero calculamos el tiempo a 12 m
$$\begin{align}&12 = 20t - 4.9t^2\\&\\&4.9t^2 - 20t + 12 = 0 \\&\\&t=\frac{20\pm \sqrt{400-235.2}}{9.8}\\&\\&t_1=0.7308729358 s\\&t_2=3.350759717s\\&\\&\text{con lo cual la velocidad es}\\&v_1=20-9.8·0.7308729358= 12.83744523m/s\\&v_2=20 - 9.8·3.350759717 = -12.83744523m/s\end{align}$$Velocidades iguales pero de sentido contrario, tal como tenía que salir.
Y eso es todo, sa lu dos.
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