Cual es el mejor resultado para este ejercicio
Ejercicio: Máximos y mínimos
Instrucciones: La solución debe incluir la explicación del proceso, paso por paso, hasta llegar al resultado.
- Se desea encontrar dos números que sumados sean 20 y que su producto sea un máximo.
- ¿Encontrar dos números positivos cuyo producto sea 25 y la suma de sus cuadrados sea máxima?
1 Respuesta
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¡Hola Nancy!
Uno de los números lo llamamos x.
Entonces, como entre los dos suman 20 el otro número será
20-x
Por lo tanto el producto de los dos será una función de x
p(x) = x(20-x) = 20x - x^2
Para hallar el máximo derivamos e igualamos a 0.
p'(x) = 20 - 2x = 0
2x=20
x=10
Comprobamos que es un máximo, para ello calculamos la derivada segunda
p''(x)=-2 y al ser negativa los puntos críticos serán máximos, luego x=10 es un máximo.
Y entonces el otro número es
20-10 = 10
Luego los números son los dos 10.
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Llamaremos x a uno de los 2.
Como el producto debe ser 25 el otro vale 25/x
La suma de los cuadrados será
s(x) = x^2 + (25/x)^2 = x^2 + 625/x^2
derivamos e igualamos a 0
s'(x) = 2x + 625·(-2)x^(-3) = 2x - 1250 / x^3 = 0
Multiplicamos todo por x^3.
2x^4 - 1250 = 0
2x^4 = 1250
x^4 = 625
x = 5
El -5 no sirve ya que nos dicen que deben ser positivos
Y el otro número es
25/5 = 5
Luego los dos números son el 5.
Y eso es todo, saludos.
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