Porqué no son comparables: la topología del limite inferior y las k-topologías
$$\begin{align}&Pruebe \ que \ \mathbb{R}_l\not\subset\mathbb{R}_k \ y \ que \ \mathbb{R}_k\not\subset\mathbb{R}_l\\&\\&\\&\mathbb{R}_l \ es \ la \ topología \ del \ límite \ inferior.\\&\\&\\&\mathbb{R}_k \ es \ la \ K-topologías \\&\\&Alguna \ ayuda....\\&\\&Gracias \ de \ antemano!\end{align}$$
Sea K el conjunto de todos los numeros de la forma 1/n: n pertenece a los N, y sea B: {(a,b) - K} se llamará la K-topologías sobre R.
Vale, y la topología de límite inferior es la generada por intervalos [a, b) con a<b de R
Supongamos el abierto [0,1) de la topología del limite inferior
Este abierto contiene el elemento 1/2 y ningún abierto de la K-topologías lo contiene luego ninguna unión de elementos de Rk lo contendrá, luego Rl no incluido en Rk
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Todo intervalo (a, b) puede ser creado con Rl como la unión infinita de intervalos (a+1/n, b)
Y todo abierto de Rk que no contenga el 0 puede considerarse como una unión de finita de intervalos (a, b), por ejemplo:
(1/8, 1/5) - K = (1/8, 1/7) U (1/7, 1/6) U (1/6,1/5)
(1/2, inf) - K = (1/2, 1) U (1, inf)
Luego el problema solo podrá suceder con un abierto de Rk que tenga el 0
Sea V = (-1, 1) - K perteneciente a Rk. El 0 pertenece a ese intervalo, luego deberá haber algún elemento de Rl que lo contenga si queremos que V pueda ser expresado como unión de elementos de Rl.
Pero por la forma de los elementos de Rl deberá hacer un elemento
[a,b) con a <=0 y b>0
Y por pequeño que sea b habrá algún n tal que 1/n < b
Luego todo abierto de Rl que tenga el cero tendrá infinitos elementos 1/n y cualquier unión que contenga ese abierto también tendrá esos elementos 1/n
Así pues V no puede expresarse como unión de elementos de Rl y por lo tanto Rk no está incluido en Rl.
Y eso es todo, saludos.
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