Anónimo
¿Esta bien este ejercicio de álgebra lineal?
Aplicacion lineal f:R^4-> R^3 dada por la siguiente ecuacion referida a las bases canónicas f(x,y,z,t) = (x+z-t , -2x+4y+2z-6t , -x+2y+z-3t)
A) Hallar las bases canónicas y la forma canonica reducida por filas:
-Matriz respecto a bases canonicas: ((1, 0, 1, -1,)(-2, 4, 2, -6)( -1, 2, 1,-3))
-Reducida canonica por filas: ((1, 0, 1, -1)( 0, 1, 1, -2))
B) Hallar dimensiones, bases y ecuaciones cartesianas de Ker(f) e Im(f):
-Dim Ker(f) = 2 y Dim Im(f) = 2
-Bases Ker(f) = (-1,-1,1,0) y (1,2,0,1)
-Bases Im(f)= (1,-2,-1)(0,4,2)
-Ecuaciones cartesianas Ker(f) x+z-t=0 e y+z-2t=0
-Ecuaciones cartesianas Im(f) y-2z=0
C)Hallar un suplemento de U para Ker(f) y estudiar que relación existe entre f(U) e Im(f)
- Base de U: NO SE HACERLO
-Relación entre f(U) e Im(f): NO SE HACERLO
Le agradecería mucho que me explicase como hacer el apartado C ya que no lo entiendo y comprobase que el apartado A y B están bien.
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¡Hola Anónimo!
No se quién es U, a lo mejor no esá bien el enunciado. De todas formas voy a hacer algo por si te sirve.
Un suplemento de Ker f será un subespacio que en suma directa con Ker f nos dé R4.
Sabemos que Kerf tiene dimensión 2 y una de sus bases es
{ (-1,-1,1,0), (1,2,0,1)}
Vamos a tomar otra, al segundo le sumo el primero
{(-1, -1, 1, 0), (0, 1, 1,1)}
Para hallar una base del suplemento hay que encontrar dos vectores linealmente independientes con estos dos y entre si. Es sencillo, la base del complemento es
{(0,0,1,0), (0,0,0,1)}
ya que si los pones en filas tendrás una matriz de determinante -1
Si con U se refieren al complemento tendremos que una base de f(U) será
f(0,0,1,0) = (1,2,1)
f(0,0,0,1) = (-1,-6,-3)
Si a la segunda le sumamos la primera quedan
(1, 2, 1), (0,-4,-2)
Y si esta segunda la multiplicamos por -1
(1,2,1), (0,4,2)
Con lo cual tenemos que im(f) = f(U)
Como cabía esperar, por cierto.
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Y eso es todo, saludos.
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¡Gracias! Me ha sido de gran ayuda.
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