Calcula la suma e intersección de U con el subespacio W
1) Dado el subespacio de R^4 U={ (X1,X2,X3,X4)∈R^4 }
- X1+X2+X3=0, X1-X2+X3=0, X1+X2-X3=0
a)Calcula la suma y la intersección de U con el subespacio W dado por la ecuación X1+X2+X3+X4=0
1 Respuesta
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¡Hola R.Sanchez!
Para pertenecer a la intersección tendrá que cumplir las condiciones de los dos conjuntos. Luego los puntos que cumplen las tres primera ecuaciones deben cumplir además la cuarta.
Son cuatro ecuaciones que vamos a ver si es sencillo resolverlas o no.
X1+X2+X3=0
X1-X2+X3=0
X1+X2-X3=0
Si sumamos las tres nos queda
X1+X2+X3 = 0
Y si ahora tomamos la cuarta
X1+X2+X3+X4 = 0
y le restamos la anterior queda
X4= 0
Esto creo yo que podría ser una forma de dar la repuesta de la intersección
U n W = {U | X4=0}
Si queremos hacerlo más concreto sería definiendo U de otra forma más concisa
X1+X2+X3=0
X1-X2+X3=0
X1+X2-X3=0
Si sumamos primera y segunda
2X1 + 2X3 = 0
2X1 = - 2X3
X1=-X3
Si sumamos primera y tercera
2X1 + 2X2 = 0
2X1 = -2X2
X1 = - X2
Y con esto ya tenemos la definición más concisa de U
U = {(X1, -X1, -X1, X4) ∈R^4}
Luego U n W = {(X1, -X1, -X1, 0) ∈R^4}
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Y la suma serán los elementos
(X1, -X1, -X1, X4) + (X5, X6, X7, -X5-X6-X7) =
(X1+X5, -X1+X6, -X1+X7, X4-X5-X6-X7)
Los tres primeros son independientes, pueden formar cualquier terna de R^3.
Al cuarto si le sumamos primero, segundo y tercero queda
X4 +X1-X1-X1 = X4-X1
Que es independiente de los tres primeros y puede tomar cualquier valor de R
Luego generan todo R^4, la suma es R^4
Y eso es todo, saludos.
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