¿Como resulevo estas ecuaciones diferenciales paso a paso?

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¡Hola Hernán!

Veamos si se puede hallar el factor integrante de la primera:

$$\begin{align}&(10-6y +e^{-3x})dx - 2dy = 0\\&\\&M_y=-6\\&N_x=0\\&\\&\frac{M_y-N_x}{N}=\frac{-6}{-2}=3\\&\\&\text{Voy a buscar el factor integrante para este caso, nunca me acuerdo}\\&\\&es\\&\\&\mu(x) = e^{\int \frac{M_y-N_x}{N}dx} e^{\int 3dx}=e^{3x}\\&\\&\text{Y tras multiplicar por él la ecuación quedará}\\&\\&(10e^{3x}-6ye^{3x} +1)dx - 2e^{3x}dy = 0\\&\\&M_y =-6e^{3x}\\&N_x=-6e^{3x}\\&\\&\text{Es exacta, la respuesta es }u(x,y)=C\\&donde \\&u_x = M\\&u_y=N\\&\\&\text{Integraré N respecto de y que es lo más corto}\\&\\&u(x,y)=\int -2e^{3x}dy= -2ye^{3x} + \varphi(x)\\&\\&\text{derivo esto respecto x y lo igualo a M}\\&\\&-6ye^{3x}+\varphi'(x)=10e^{3x}-6ye^{3x} +1\\&\\&\varphi'(x) = 10e^{3x}+1\\&\\&\varphi(x) =\int\left ( 10e^{3x}+1   \right) dx=\frac{10}3e^{3x}+x\\&\\&\text{Con esto la solución  u(x,y)=C queda así}\\&\\&u(x,y)= -2ye^{3x}+\frac{10}3e^{3x}+x = C\\&\\&2ye^{3x}=\frac{10}3e^{3x}+x + C\\&\\&y=\frac 53+\frac 12xe^{-3x}+Ce^{-3x}\\&\\&y = \frac 53+\frac 12 (x+C)e^{-3x}\\&\end{align}$$

Y eso es todo, saludos.

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Hola Hernan!

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2.-

Como ya te dan el factor integrante, multiplicas la ecuación diferencial por ese factor y se transforma en diferencial exacta.

Con lo cual luego se procede a resolver como un exacta:

$$\begin{align}&(x^2+2xy-y^2)(x+y)^{-2}dx+(y^2+2xy-x^2)(x+y)^{-2}dy=0\\&\\&ya \ es \ exacta, \ luego:\\&\\&F(x,y)= \int (x^2+2xy-y^2)(x+y)^{-2}dx+  h(y)\\&\\&\int (x^2+2xy-y^2)(x+y)^{-2}dx=\int \frac{x^2+2xy-y^2}{(x+y)^2}dx= \int \frac{x^2+2xy-y^2}{x^2+2xy+y^2} dx=\\&\\&dividiendo:\\&\\&= \int \Big( 1- \frac{2y^2}{x^2+2xy+y^2} \Big) dx=x-2y^2 \int \frac{dx}{(x+y)^2}=x-2y^2 \frac{(x+y)^{-1}}{-1}=\\&\\&x+\frac{2y^2}{x+y}\\&\\&F(x,y)=x+ \frac{2y^2}{x+y}+h(y)\\&\\&derivando \ respecto   \ y:\\&\\&F_y=\frac{\partial F}{\partial y}=0+\frac{4y(x+y)-2y^2}{(x+y)^2}+h'(y)=\frac{4yx+2y^2}{(x+y)^2}+h'(y)\\&\\&igualándola \ a \ su \ valor \ en \ la \ ecuación \ diferencial \ exacta:\\&\\&F_y=(y^2+2xy-x^2)(x+y)^{-2}\\&\\&\Longrightarrow\\&\\&\frac{4yx+2y^2}{(x+y)^2}+h'(y)=(y^2+2xy-x^2)(x+y)^{-2}\\&\\&h'(y)=\frac{y^2+2xy-x^2}{(x+y)^2}- \frac{4yx+2y^2}{(x+y)^2}=\frac{-y^2-x^2-2xy}{(x+y)^2}=- \frac{(x+y)^2}{(x+y)^2}=-1\\&\\&\Rightarrow\\&h(y)=-y+c\\&\\&luego \  la \ solución  \  es:\\&\\&x+\frac{2y^2}{x+y}-y+c=0\\&\\&\frac{x^2+xy+2y^2-yx-y^2}{x+y}=C\\&\\&\frac{x^2+y^2}{x+y}=C\end{align}$$

SAludos

;)

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