Dudas sobre este ejercicio de grupos finitos y grupos finitos simples en álgebra abstracta...

De antemano muchas gracias por todo su apoyo en esta demostración de álgebra abstracta!

Muestre que si |G|=20, entonces G no es simple.

Respuesta
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¡Hola Zankass!

20 = 2^2 · 5

Veamos cuántos 5-subbrupos de Sylow tiene.

Por el tercer teorema de Sylow:

i) El número de 5-subgrupos de Sylow divide a 20/5 = 4

Ii) el número de 5-subgrupos de Sylow es congruente con 1 módulo 5

Luego llamando n5 al numero de 5-subgupos de Sylow tendremos

n5 = 1, 2 o 4

n5  = 1,6,11, ...

Solo cabe la posibilidad n5=1

Cuando solo hay un p-subgrupo de Sylow es normal. Luego el 5-subrupo de Sylow que hay es normal y G no es simple.

Y eso es todo, saludos.

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