Calculo integral, volúmenes solido de revolución. Una cuña es obtenida de un cilindro de radio 3 al cortarlo
Con dos planos. Uno de ellos es perpendicular al eje del cilindro. El segundo plano cruza al primero en un angulo de 45 grados en el centro del cilindro. Encuentra el volumen de la cuña
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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Omar!
El plano horizontal será por ejemplo
z=0
El plano que forma 45º puede ser por ejemplo z=x, también podría tomarse z=y u otros más complicados, pero tomaremos
z=x
Pero espera, si te han puesto este ejercicio es porque acabas de dar las coordenadas cilíndricas y es mucho mas fácil con ellas. Entonces será mejor tomar el plano
z=y
Los límites de las coordenadas cilíndricas serán estos:
$$\begin{align}&\varphi\in [0,3]\\&\theta \in [0,\pi]\\&z\in[0,\rho sen \theta]\\&\\&\text{Y el jacobiano es }\rho\\&\\&V=\int_0^3\int_0^{\pi}\int_0^{\rho ·sen \theta}\rho\; dz\;d\theta\;d\rho=\\&\\&\int_0^3\rho\int_0^{\pi}\int_0^{\rho·sen \theta}dz\;d\theta\;d\rho=\\&\\&\int_0^3\rho\int_0^{\pi}z\bigg|_0^{\rho·sen\theta}\;d\theta\;d\rho=\\&\\&\int_0^3\rho\int_0^{\pi}\rho·sen\theta\;d\theta\;d\rho=\\&\\&\int_0^3\rho^2\int_0^{\pi}sen\theta\;d\theta\;d\rho=\\&\\&\int_0^3\rho^2 \left(-\cos\theta\bigg|_0^{\pi}\right)\;d\rho=\\&\\&\int_0^3\rho^2 \left(1-0\right)\;d\rho=\\&\\&\int_0^3\rho^2\;d\rho=\frac{\rho^3}{3}\bigg|_0^3=9\\&\\&\end{align}$$Y eso es todo, saludos.
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