Determina de cuantas maneras se pueden construir una cadena de longitud 9 usando... (combinatoria)
Necesito la resolución de esta pregunta de matemáticas discretas:
Determina de cuantas maneras se puede construir una cadena de longitud 9 usando tres ceros, tres unos y tres doses, de forma que no haya tres dígitos consecutivos iguales.
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Ivan!
Primero calculamos cuántas se pueden construir sin esa restricción, son permutaciones de 9 con repetición de 3, 3 y 3
$$\begin{align}&P_9^{3,3,3}= \frac{9!}{3!·3!·3!}=1680\\&\\&\text{Y ahora usaremos el principio de inclusión- excluxión}\\&\text{Ahora toca excluir las que cumplen alguna}\\&\text{Son 3, por la posición donde comienza (1 a 7),}\\&\text{por lo que hace las otra 6}\\&3·7·P_6^{3,3}= 21·\frac{6!}{3!·3!} = 420\\&\\&1680-420 = 1260\\&\\&\text{Ahora toca incluir las que cumplen dos condiciones}\\&\text{Por cifras y lugar son }(01,10,02,20,12,21) = 6 \;casos\\&\text{La primera puede empezar desde el 1 hasta el 4}\\&\text{La segunda desde (primera + 3) hasta 7}\\&\text{Los casos posibles son}\\&(14, 15, 16, 17, 25,26,27, 36,37, 47)= 10 \;casos\\&\text{Las otras no intervienen van a tres sitios fijos}\\&Son\; 6·10=60 \;formas\\&\\&\text{que incluimos }1260+60=1320\\&\text{Y ahora excluiomos las que tienen los tres grupos seguidos}\\&\text{Son permutaciones de 3 }\quad P_3=6\\&1320-6 = 1314\\&\\&\end{align}$$Luego hay 1314 maneras.
Y eso es todo. Sa lu dos.
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