La siguiente ecuación diferencial x(〖2x〗^3-3y^3 )dy=y(2x^3-y^3)dx

·

·

¡Hola Henry!

El copiar y pegar en esta página no siempre funciona bien, muchas veces aparecen estos símbolos 〖 〗que normalmente no significan nada y sobran por completo, deberías quitarlos en ese caso.

Voy a resolver en la creencia de que la ecuación es:

$$\begin{align}& x(2x^3-3y^3 )dy=y(2x^3-y^3)dx \\&\\&\text{No es lineal, es homogénea}\\&\\&\frac{dy}{dx}=\frac{y(2x^3-y^3)}{ x(2x^3-3y^3 )}\\&\\&\text{Se resuelve con el cambio}\\&\\&y=ux \implies u= \frac yx\\&\\&\frac{dy}{dx}= \frac{du}{dx}x+u\\&\\&  \frac{du}{dx}x+u= \frac{ux(2x^3-u^3x^3)}{ x(2x^3-3u^3x^3)} = \frac{2u-u^4}{2-3u^3}\\&\\&\frac{du}{dx}x =  \frac{2u-u^4}{2-3u^3}-u = \frac{2u-u^4-2u+3u^4}{2-3u^3}\\&\\&\frac{du}{dx}x = \frac{2u^4}{2-3u^3}\\&\\&\frac{2-3u^3}{2u^4}du=\frac{dx}{x}\\&\\&\left(u^{-4} -\frac 32·\frac 1u   \right)du = \frac{dx}{x}\\&\\&\frac{u^{-3}}{-3}- \frac 32 ln\,u= lnx +lnC = ln \;Cx\\&\\&-\frac {x^3}{3y^3}- \frac 32 ln \frac yx = ln Cx\end{align}$$

:

: