Calcule las siguientes integrales:a) ∫▒〖2x^2 (7-3x^3 )^5 〗 dxb) ∫▒7x/(4x^2-8) dxc) ∫▒〖3xe^(1-2x^2 ) 〗 dx
Alguien me puede ayudar a entender y a hacer los cálculos de las integrales
2 respuestas
;)
Hola Berenice!
Son integrales quasi-inmediatas. Se pueden hacer directamente o por cambio de variable.
Te hago de las dos maneras.
Por cambio de variable, coge la parte del integrando cuya derivada también es factor del propio integrando (salvo, si acaso, por una constante) y llámala t
Por ejemplo, en la primera,(7-3x^3)=t, ya que su derivada 9x^2 está en el integrando multiplicando (2x^2) solo se diferencia en una constante:
$$\begin{align}&\int 2x^2(7-3x^3)^5 dx=\\&\\&7-3x^3=t\\&derivando:\\&-9x^2dx=dt \Rightarrow x^2dx=\frac{dt}{-9}\\&\\&= 2 \int t^5 \frac{dt}{-9}=- \frac{2}{9} \int t^5dt=\frac{-2}{9} \frac{t^{5+1}}{5+1}=\frac{-2}{9} \frac{t^6}{6}=-\frac{1}{27} t^6=- \frac{1}{27}(7-3x^3)+C\\&\\&\\&\end{align}$$Cuando se tiene una fracción , se mira si es tipo logarítmico. Cuando el numerador es la derivada del denominador, excepto , como mucho una constante, que se puede balancear:
La segunda, la derivada del denominador es 8x, lo importante es que esté la x:
$$\begin{align}&\int \frac{7x}{4x^2-8} dx= 7 \int \frac{x}{4x^2-8}dx=\\&\\&multiplicando \ y \ dividiendo \ por \ 8:\\&\\&=\frac{7}{8} \int \frac{8x}{4x^2-8} dx= \frac{7}{8} ln |4x^2-8|+C\\&\\&\\&\int 3x e^{1-2x^2}dx= 3 \int x e^{1-2x^2}·\frac{-4}{-4}dx=\frac{3}{ -4} \int-4x e^{1-2x^2}dx=\\&\\&=-\frac{3}{4} e^{1-2x^2}+C\end{align}$$Saludos
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¡Hola Berenice!
Se resuelven por cambio de variable. Si se tiene suficiente soltura se pueden hacer sin él.
$$\begin{align}&\int 2x^2(7-3x^3)^5dx=\\&\\&t=7-3x^3\\&dt=-9x^2\,dx\implies x^2\,dx=-\frac 19dt\\&\\&=2·\left(-\frac 19 \right)\int t^5dt=\\&\\&-\frac 29·\frac{t^6}{6}+C=\\&\\&-\frac{(7-3x^3)^6}{27}+C\\&\\&\\&-----------------\\&\\&\int \frac{7x}{4x^2-8}dx=\\&\\&t=4x^2-8\\&dt=8x\,dx \implies x\,dx=\frac 18dt\\&\\&=\int \frac{7}{t}·\frac 18dt=\\&\\&\frac 78\int \frac{dt}{t}= \frac{7}{8}ln\,t+C=\\&\\&\frac{7}{8}ln(4x^2-8)+C\\&\\&-------------\\&\\&∫3xe^{1-2x^2 } dx=\\&\\&t=1-2x^2\\&dt=-4x\,dx\implies x\,dx=-\frac 14dt\\&\\&=\int3·\left(-\frac 14 \right)e^tdt=\\&\\&-\frac 34e^t+C=\\&\\&-\frac 34e^{1-2x^2}+C\\& \\&\end{align}$$Yeso es todo, espero que lo hayas entendido, no olvides valorar la respuesta.
Sa lu dos.
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