Ejercicio de álgebra lineal. Se considera la siguiente función:
T:P2(R) → P2(R) definida mediante T(f(x))=f(x)+xf´(x).
$$\begin{align}&T:P2(R) → P2(R) definida mediante T(f(x))=f(x)+xf´(x). \end{align}$$¿Cuál es el dominio de esta función.?
Verifica que se trata de una transformación lineal.
¿Es biyectiva?
¿Cómo resuelvo este ejercicio así me doy una idea para resolver otros que son similares?
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Omar!
El dominio son los elementos del conjunto origen que tienen imagen. Todos los polinomios tienen derivada y el resto de operaciones (una multiplicación de polinomios y una suma de polinomios) se pueden efectuar siempre. Luego el dominio es P2(R)
Para que sea una transformación lineal deben cumplirse estas dos propiedades
$$\begin{align}&1)\quad T(p(x)+q(x))= T(p(x))+T(q(x))\\&2) \quad T(k·p(x))= k·T(p(x))\\&\\&\text{donde }p(x), q(x)\in P_2(\mathbb R);\quad k\in \mathbb R\\&\\&\\&1) \;T(p(x)+q(x)) = p(x)+q(x)+x(p(x)+q(x))'=\\&\\&p(x)+q(x)+x(p'(x)+q'(x))=\\&\\&[p(x)+xp'(x)] + [q(x)+xq'(x)]= T(p(x))+T(q(x))\\&\\&\\&2) \;T(kp(x)) = kp(x) + x(kp(x))'=\\&\\&kp(x) + x(kp'(x))= \\&\\&k[p(x)+xp'(x)] = k·T(p(x))\\&\\&\text{Luego es lineal}\\&\\&\\&\text{Para ser biyectiva deberá ser inyectiva y sobreyectiva}\\&\\&\text{Para ser inyectiva debe cumplirse}\\&\\&T(p(x))=T(q(x)) \implies p(x)=q(x)\\&\\&Dado\quad p(x)= ax^2+bx+c\\&\\&T(p(x))= ax^2+bx+c+x(2ax+b)=3ax^2+2bx+c\\&\\&\text{Sea q(x) con la misma imagen}\\&\\&q(x) =dx^2+ex+f\\&\\&\text{Por un lado}\\&\\&T(q(x)) = 3dx^2+2ex+f\\&\\&\text{Pero como es igual que }T(p(x))\\&\\&T(q(x)) = 3ax^2+2bx+c\\&\\&\text{por lo que}\\&\\&3dx^2+2ex+f=3ax^2+2bx+c\\&\\&\text{dos polinomios son iguales si y solo si son iguales}\\&\text{todos los coeficientes correspondientes}\\&\\&3d=3a\implies d=a\\&2e=2b\implies e=b\\&f=c\\&\\&Luego\\&\\&q(x)=ax^2+bx+c = p(x)\\&\\&q(x)=p(x)\\&\\&\text{es inyectiva}\\&\\&·\\&\text{Y es sobreyectiva, dado}\\&\\&q(x) = ax^2+bx+c\\&\\&\text{tomamos el polinomio}\\&\\&p(x)=\frac a3x^2+\frac b2x+c\\&\\&\text{Y se cumple } T(p(x))=q(x)\\&\\&\text{En efecto, esto ya lo hicimos antes pero lo comprobamos de nuevo}\\&\\&T(p(x)) =\frac a3x^2+\frac b2x+c+x\left(\frac{2a}{3}x+\frac b2\right)=\\&\\&\frac a3x^2+\frac b2x+c+\frac{2a}{3}x^2+\frac b2x=ax^2+bx+c\end{align}$$:
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