Sea T el operador lineal sobre R2 definido por T(x1, x2)=(-x2,x1)
$$\begin{align}&{ \color{PineGreen} \mbox{Ejercicio:} }\end{align}$$Sea T el operador lineal sobre R2 definido por
$$\begin{align}&T(x1, x2)=(-x2,x1)\end{align}$$a) ¿Cuál es la matriz de T en la base ordenada canónica de
$$\begin{align}&R^{2}\end{align}$$ ?
b)¿Cuál es la matriz de T en la base ordenada
$$\begin{align}&B= \langle \alpha _{1}, \alpha _{2} \rangle donde \alpha _{1}= (1,2) y \alpha _{2}= (1,-1)?\end{align}$$c) Demostrar que para cada numero real c el operador (T-cl) es inversible.
d) Demostrar que si B es cualquier base ordenada para
$$\begin{align}&R ^{2} && y && [T]_ {B} = A , && entonces&& A_ {12}A_ {21}\not= 0\end{align}$$
1 Respuesta
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¡Hola Andreina!
a) Debemos hallar las imágenes de la base canónica y ponerlas como columnas.
T(1, 0) = (-0, 1) = (0, 1)
T(0, 1) = (-1, 0)
Luego la matriz es
0 -1
1 0
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b) Hallamos las imágenes
T(1, 2) = (-2, 1)
T(1,-1) = (1, 1)
y ahora hallamos las coordenadas en esa base
a(1, 2) + b(1, -1) = (-2, 1)
a + b = -2
2a - b = 1
3a = -1
a=-1/3
b=-2 -a = -2 +1/3 = 5/3
Luego las coordenadas de la imagen del primer elemento de la base son (-1/3, 5/3)
Para la imagen del segundo elemento de la base hacemos lo mismo
a(1, 2) + b(1, -1) = (1, 1)
a + b = 1
2a - b = 1
3a = 2
a = 2/3
b = 1 - a = 1 - 2/3 = 1/3
Luego las coordenadas de la imagen del segundo elemento de la base son
(2/3, 1/3)
Y la matriz será
-1/3 2/3
5/3 1/3
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c) Tomaremos la matriz de T primera, entonce T - c·I es:
-C -1
1 -c
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Cuyo determinante es c^2+1 >1
Luego el determinante no es 0 nunca y la matriz es invertible
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d)
Sea la base B={(x,y), (z,t)}
Las imágenes de la base son:
T(x,y) = (-y, x)
T(z,t) = (-t, z)
Las coordenadas serán
a(x, y) + b(z, t) = (-y, x)
ax + bz = -y
ay + bt = x
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Aplicando la regla de Cramer
b = (x^2 + y^2) / (xt - yz)
Este b es el A21 de la matriz
Como (x, y) es de la base no puede ser (0,0) luego el numerador es positivo.
Y el denominador es el determinante de dos vectores linealmente independientes, luego es distinto de 0
Luego A21 es distinto de 0
Hagamos lo mismo para A12 que es
a(x, y) + b(z, t) = (-t, z)
ax + bz = -t
ay + bt = z
Aplicando Cramer
a= (-t^2 - z^2) / (xt - zy)
Esta a es el elemento A12 de la matriz
Como (z, t) es un elemento de la base no puede ser (0,0) luego el numerador es distinto de 0 y el denominador también por ser el determinante de dos vectores independientes.
Así que A21 y A12 son distintos de 0 y por lo tanto su producto es distinto de 0.
Y eso es todo, sa lu dos.
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