Resolver la siguiente inecuación racional
Me podrían colaborar por favor con la siguiente inecuación, gracias.
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¡Hola Omar!
El resultado debe ser negativo, eso solo sucederá si numerador y denominador tienen signos contrarios. Debemos calcular los signos de ambos
Numerador, se ve a simple vista que es
(x+2)(x+5)
será negativo cuando
x+2 < 0 ==> x < -2
x+5 >0 ==> x > -5
Luego el numerador es negativo en el intervalo (-5, -2) y positivo en el resto
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Y el denominador es
(x-2)x
será negativo si
x-2<0 ==> x <2
x>0
Luego el denominador es negativo en (0, 2) y positivo en el resto
Ahora tomamos todos los intervalos determinados por las cuatro raíces y la respuesta es donde haya signos opuestos. Las raíces puestas en orden y con el sufijo n o d según sean del numerador o denominador son
-5n, -2n, 0d, 2d
En (-inf, -5) denominador y numerador positivos, no sirve
En (-5, -2) numerador negativo y denominador positivo SIRVE
En (-2, 0) numerador y denominador positivo, no sirve
En (0, 2) numerador positivo y denominador negativo SIRVE
En (0, inf) ambos positivos, no sirve
Luego la solución es:
S = (-5, -2) U (0, 2)
Y eso es todo, sa lu dos.
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Disculpe hay una forma de hacerlo paso a paso si fuese posible gracias
No se que quieres decir con paso a paso, yo creo que he puesto bastantes pasos no puedo dar cien mil detalles algo se supone que sabrás. SI te refieres a resolverlo por otro procedimiento será más complicado con total seguridad.
1 respuesta más de otro experto
Conviene ver donde es cero, tanto el numerador como el denominador para ver los posibles puntos de cambio de signo, más allá de esos puntos, la función tendrá el signo que tiene en un punto interior al intervalo. Veamos
$$\begin{align}&Numerador: x^2+7x+10 = 0\\&x_{1,2} = \frac{-7\pm \sqrt{7^2-4\cdot1\cdot10}}{2\cdot1}= \frac{-7\pm 3}{2}=\\&x_1=-2, x_2=-5\\&Denominador: x^2-2x=0\\&x^2-2x=x(x-2)=0\\&x=0, x=2\\&\text{tenemos los puntos de interés que son {-2,-5,0,2}, que definen los siguientes intervalos}\\&I_1=(-\infty,-5), I_2=(-5,-2),I_3=(-2,0), I_4=(0,2), I_5=(2,+\infty)\\&\text{En cada uno de esos intervalos, la función tendrá el punto de cualquier punto dentro de ese intervalo, veamos cada caso, donde me voy a enfocar en el signo de la fracción}\\&I_1=(-\infty,-5), elijo\ x = -10 \to \frac{(-10)^2+7\cdot(-10)+10}{(-10)^2-2\cdot(-10)}=\frac{+}{+}>0 \to NO\\&I_2=(-5,-2), elijo\ x = -4 \to \frac{(-4)^2+7\cdot(-4)+10}{(-4)^2-2\cdot(-4)}=\frac{-}{+}<0 \to SI\\&I_3=(-2,0), elijo\ x = -1 \to \frac{(-1)^2+7\cdot(-1)+10}{(-1)^2-2\cdot(-1)}=\frac{+}{+}>0 \to NO\\&I_4=(0,2), elijo\ x = 1 \to \frac{1^2+7\cdot 1+10}{1^2-2\cdot 1}=\frac{+}{-}<0 \to SI\\&I_5=(2,+\infty), elijo\ x = 10 \to \frac{10^2+7\cdot 10+10}{ 10^2-2\cdot 10 }=\frac{+}{+}>0 \to NO\\&Solución: I_2 \cup I_4 = (-5,-2) \cup (0,2)\end{align}$$Salu2