¿Cómo demuestro que es un subespacio?
Me ayudas a demostrar, por favor, con las dos reglas (cerradura bajo la suma y multiplicación por escalar) si el subconjunto dado H del espacio vectorial V es un subespacio de V para el plano xy. (V = ℝ^3; H = el plano xy)
1 Respuesta
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¡Hola Daniel Go!
Primero identificamos el conjunto H, dicen que es el plano xy, se llama así a los puntos de R3 cuya coordenada z=0
H={(x,y,0) | x,y de R}
Entonces debemos comprobar si eso es un subespacio de R3. El teorema se puede usar de golpe o en dos partes, no sé cuál usarás.
En un solo paso sería:
1) au + bv € H para todo a,b de R y todo u,v de H
Y en dos pasos sería:
1) u+v € H para todo u,v de H
2) au € U para todo a de R y u de H
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Vamos a hacerlo de la primera forma, sean
u=(x1, y1, 0), v=(x2, y2, 0) € H
a, b € R
entonces
au+bv = a(x1, y1, 0) + b(x2, y2, 0) = (ax1, ay1, 0) + (bx2, by2, 0) =
(Ax1+bx2, ay1+by2, 0) € H ya que su tercera coordenada es 0
Luego H es un subespacio.
Y eso es todo, saludos.
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