Necesito obtener todas las soluciones de esta ecuación

Estás en lo correcto la solución es pi/9 pero al ser el seno una función periódica de periodo 2pi es necesario añadir mas 2kpi, esto es simplemente dar una vuelta completa a la circunferencia.

Imagina la circunferencia goniométrica , el sen(0) = 0 , sen(2pi)= 0 también!, pues tiene la misma posición en la circunferencia, como he dicho antes, es dar una vuelta completa!.

Esto ocurre también en el coseno cualquiera que sea el argumento si le sumas o le restas 2pi el resultado será el mismo, y por tanto también será una solución

Antes que nada gracias, pero " sen(0) = sen(2pi) = 0" se cumple cuando el periodo es 2pi, el problema aquí es que los senos no tienen el mismo periodo.

En el de la izquierda el periodo es pi....

Un detalle es que puse mal la respuesta, la respuesta en realidad es x=pi/9+2kPi/3 y 2kPi con k perteneciente a los enteros .

De todas maneras gracias.

Vale tienes razón, siento no haber prestado suficiente atención, te intento compensar ...

Lo que seguramente hallas hecho para solucionar es igualar los argumentos y despejar, sin embargo esto no te permite estudiar la periodicidad.

Primero plantea la ecuación como una resta y transfórmala en un producto usando identidades trigonométricas:

$$\begin{align}&\sin(2x+\frac{\pi}{3})-\sin(\frac{2pi}{3})=0\\&\\&\sin(A)-\sin(B)=2cos(\frac{A+B}{2})\sin(\frac{A-B}{2})\\&\\&Asi:\\&\\&2cos(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{2})\sin(\frac{3x}{2}-\frac{\pi}{6})=0\end{align}$$

Las soluciones serán aquellas que puedan hacer a cada uno de los términos cero. 

$$\begin{align}&\cos(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{2})=0\\&x=2*k*\pi\end{align}$$

Para obtener la solución dibujate la circunferencia goniométrica, fija el argumento ( en este caso pi/2) y razona que tienes que hacer para que la x lo haga 0 . Como ves en pi/2 el coseno vale 0 por tanto sabemos que para x=0 la ecuación cumple, ahora cuanto podemos girar periodicamente manteniendo el coseno "0", pues pi vueltas, en pi/2 y 3pi/2 , para girar pi como x está divido por 2, x tendrá que ser 2kpi . Igualas x/2 a pi y despejas. 

Ahora para el seno: 

$$\begin{align}&\sin(\frac{3x}{2}-\frac{\pi}{6})=0\\&\\&x=\frac{\pi}{9}+\frac{2k*\pi}{3}\end{align}$$

Éste es un poco más difícil, inténtalo por tu cuenta y coméntame si tienes problemas...

Como ves el seno da la solución que te daban, pero como puedes comprobar la solución que te da el coseno también es válida así que de hecho la solución que has proporcionado estaría incompleta. Puedes comprobar esto también si gráficas las funciones y ves dónde se cortan, comprobaras que en x=0 hay una solución que no está contemplada en la solución "teórica" que ofreces.

Muy bien millones de gracias pero fíjate que la solución del coseno 2kPi también la escribí. Nuevamente gracias ojalá tenga tu dominio en esta disciplina que me apasiona pero para la cual no soy bueno ja ja.

Saludos