Hallar los puntos de intersección de las curvas

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Hola abril!

Para complementar el trabajo de Omar te he hecho la construcción con GeoGebra para que observes los otros puntos de corte que faltan:

El punto de abajo es el otro ángulo con cos=-1/3 , del tercer cuadrante (250.5288º)

Por otro lado hay otro punto de corte que no coincide con valores iguales del parámetro (theta).

Es el origen de coordenadas, donde r=0;

que para la primera curva sería para un valor de theta

$$\begin{align}&r=1+\cos \theta=0 ===> \cos \theta=-1==> \theta=180º\\&\\&Y \ para \ la\ segunda \ curva:\\&r= \frac 1 2(1-\cos \theta)=0 ==> \cos \theta=1 ==> \theta=0º\end{align}$$

Es lo que tiene las curvas en polares , que hay que tener un buen ojo

Saludos

Y recuerda votar a los dos expertos

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Igualamos r

$$\begin{align}&1+\cos \theta = \frac{1}{2} (1-\cos \theta)\\&2+2 \cos \theta = 1-\cos \theta\\&2-1 = -\cos \theta - 2cos \theta\\&1 = -3cos \theta\\&-\frac{1}{3} = \cos \theta \text{ (habría que usar la calculadora para calcular esto -en radianes-)}\\&\text{Pero no me gusta, así que voy a despejar }\cos \theta \text{ a ver si queda algo más interesante}\\&r-1 = \cos \theta ...........(a)\\&2r = 1-\cos \theta \to \cos \theta = 1-2r\\&r-1 = 1-2r\\&3r = 2 \to r =\frac{2}{3}\\&\text{reemplazando en (a)}\\&\frac{2}{3}-1 = \cos \theta\\&-\frac{1}{3} = \cos \theta \text{ (obviamente llegamos a lo mismo, así que no queda otra que hacer ese cálculo)}\\&\theta = arccos(-\frac{1}{3}) = 1.9106\\&\\&\end{align}$$

Salu2