5- Demostrar que la ecuación x^2+y^2+35y-50=0 Es una circunferencia. Determinar: Centro Radio

La forma más sencilla de resolver esto es cogiendo la formula genérica de una elipse

$$\begin{align}&\frac{(x-a)^2}{c^2}+\frac{(y-b)^2}{d^2}=1\end{align}$$

La única diferencia entre una circunferencia y una elipse es que la elipse tiene dos radios diferentes (radio en direccion x y radio en direccion y) y la circunferencia tiene el mismo valor.

Bien, nuestras variables, nos indican lo siguiente

a=coordenada x del centro

b=coordenada y del centro

c=radio en el eje x

d=radio en el eje y

Ahora solo debemos coger tu ecuación y dejarla como la que te he puesto yo. Lo haremos así:

$$\begin{align}&x^2+y^2+35y-50=0\\&(x-0)^2+(y+\frac{35}{2})^2-356.25=0\\&\frac{(x-0)^2}{(\sqrt{356.25})^2}+\frac{(y-(-\frac{35}{2}))^2}{(\sqrt{356.25})^2}=1\end{align}$$

Quizá he ido demasiado rápido. En la parte de las x es fácil ver que solo tenemos x^2 por lo tanto, nuestro valor a (coordenada x del centro) será 0.

El segundo paso se llama completar cuadrados (si no recuerdo mal) se usa muchas veces en resolución de integrales. Simplemente lo que he hecho es usar la igualdad (A+B)^2=A^2+B^2+2AB. ***(Mayusculas para distinguir de las a, b de antes)

Esto lo aplicaremos en el orden inverso al que estamos acostumbrados.

Nosotros tenemos y^2+35y-50 pues lo que es A^2 en nuestro caso será y^2 por lo tanto

35y=2yB

Así la B valdrá 35/2

Y por último, tenemos un -50 ahí que no podemos ignorar, porque si pusiesemos solo

(y+35/2)^2=y^2+35y+(35/2)^2

Y eso no es exactamente lo que queremos. Por lo tanto, a nuestro (y+35/2)^2 deberemos restarle un numero que nos deje un -50 es decir -50-(35/2)^2=356.25

Otra forma más analítica de verlo sería plantearlo como

$$\begin{align}&y^2+35y-50=(y+B)^2+C=y^2+2yB+B^2+C\end{align}$$

Las y^2 se van y encontramos de forma muy visual B y C

$$\begin{align}&35y-50=2yB+B^2+C\\&35=2B ->B=35/2\\&-50=B^2+C\\&-50=(35/2)^2 +C->C=-356.25\end{align}$$

Los siguientes pasos son más sencillos, simplemente pasamos el -356.25 sumando y despues dividiendo al otro lado para que nos quede el 1. Así elevamos al cuadrado y hacemos la raiz cuadrada y tenemos los valores:

a=0

b=-35/2=-17.5

Centro: (0,-17.5)

Radio=raiz(356.25)=18.87

Espero haberte sido de ayuda, si necesitas algo más o tienes alguna duda no hay problema en que preguntes.