¿Después de cuántos días se maximizarán las utilidades?

Aby, cuando tengas expresiones de distinta prioridad usa paréntesis, ya que lo que tu escribiste es

$$\begin{align}&B(x) = 200000x/x^2 +4\\&\text{que eso es igual a }B(x) = 200000/x +4\\&\text{Pero supongo que lo que querías escribir era}\\&B(x) = 200000x / (x^2 +4)\\&\text{Yo voy a asumir que la expresión era esta última que puse, veamos}\\&B(x) = \frac{200000x}{x^2 +4}=200000x \cdot (x^2 +4)^{-1}\\&\text{Lo escribí de esta segunda forma (que es equivalente), porque me llevo mejor con la derivada del producto, que del cociente}\\&B'(x) = 200000\bigg(1 \cdot (x^2 +4)^{-1} + x \cdot (-1) (x^2 +4)^{-2}2x\bigg)\\&\text{Reacomodando la expresión}\\&B'(x) = 200000\bigg(\frac{1}{x^2 +4} - \frac{2x^2}{(x^2 +4)^{2}}\bigg)=200000\bigg(\frac{x^2+4-2x^2}{(x^2 +4)^{2}}\bigg)=200000\bigg(\frac{-x^2+4}{(x^2 +4)^{2}}\bigg)\\&B'(x) = 0 \to \\&0=200000\bigg(\frac{-x^2+4}{(x^2 +4)^{2}}\bigg)\\&0 = -x^2+4 \to x =\pm2 \\&\text{Como estamos hablando de días transcurridos, el valor negativo no tiene sentido y la respuesta es x=2}\\&\text{Queda ver si es máximo (podría ser mínimo), como la expresión B'(x) no quedó sencilla, en lugar de calcular B''(x), voy a evaluar B'(x) a izquierda y derecha del punto en cuestión}\\&B'(1) = 200000\bigg(\frac{-1^2+4}{(1^2 +4)^{2}}\bigg) = 200000\bigg(\frac{3}{25}\bigg)>0 \text{ (no importa el resultado, solo si es positiva o negativa)}\\&B'(3) = 200000\bigg(\frac{-3^2+4}{(3^2 +4)^{2}}\bigg) = 200000\bigg(\frac{-5}{169}\bigg)<0 \\&\text{Como la función pasa de creciente a decreciente, el valor hallado es un máximo}\\&\text{Para hallar las utilidades hay que reemplazar el 2 en B(x)}\\&B(x) = \frac{200000\cdot 2}{2^2 +4}=\frac{400000}{8}=50000\end{align}$$

y eso es todo.

Salu2