Calcular la derivada de las siguiente función y el siguiente límite
Derivada de (1+x)^1/x
Limite cuando x tiende a 1 de ((e/(e^x-e))-(1/(x-1))
Respuesta
1
Miriam, vamos por partes...
f(x) = (1+x)^(1/x)
Puedes acomodar un poco más la expresión pero no aporta demasiado...
Para el límite, supongo que podrás usar L'Hopital, el tema es que eso solo puede usarse para expresiones 0/0 ó Inf/Inf, por lo que hay que acomodar la expresión...
$$\begin{align}&\lim_{x \to 1} \Big( \frac{e}{e^x-e} \Big)^{-\frac{1}{x-1}}=L\\&\lim_{x \to 1} \Big( \frac{e^x-e}{e} \Big)^{\frac{1}{x-1}}=L\\&aplicando \ logaritmos...\\&ln(\lim_{x \to 1} \Big( \frac{e^x-e}{e} \Big)^{\frac{1}{x-1}})=ln(L)\\&\lim_{x \to 1} ln\Big( \frac{e^x-e}{e} \Big)^{\frac{1}{x-1}})=ln(L)\\&\lim_{x \to 1} ln(\frac{1}{x-1} \cdot \frac{e^x-e}{e} )=ln(L)\\&\lim_{x \to 1} ln \Big (\frac{e^x-e}{e(x-1)} \Big)=ln(L)\\&\text{Ahora sí, aplicamos L'H}\\&\lim_{x \to 1} ln \Big (\frac{e^x}{e} \Big) = 1\\&Por\ lo\ tanto\\&1=ln(L)\\&e^1 = e^{ln(L)}\\&e=L\\&\text{ y el límite es e}\end{align}$$Salu2