Resolución de un ejercicio de congruencias:
Determina el número de valores de
$$\begin{align}&a\in\{1,2,...,117\}\end{align}$$para los que la congruencia
$$\begin{align}&ax\equiv1(\mod117)\end{align}$$tiene solución única.
Respuesta de tmoli
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¡Hola Iván!
La solución será única cuando a y 117 sean coprimos. Luego debemos calcular la cantidad de números coprimos con 117, esto es la función de Euler de 117.
Descomponemos 117 en factores primos:
117 | 3
39 | 3
13|13
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Luego
117= 3^2·13
Tenemos algunos resultados conocidos:
$$\begin{align}&\varphi(p)=p-1 \quad \text{siendo p primo}\\&\varphi(p^k)=(p-1)p^{k-1}\quad \text{Siendo p primo y k natural}\\&\varphi(mn)= \varphi(m)·\varphi(n) \text{ siendo m y n coprimos}\\&\\&\text {luego}\\&\\&\varphi(117)=\varphi(3^2·13)= \varphi(3^2)·\varphi(13)=(3-1)·3^{2-1}·(13-1)=\\&\\&2·3·12= 72\end{align}$$Y eso es todo, sa lu dos.
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