La ecuación dada representa una elipse y debo encontrar los elementos

;)
El error está en este paso:

$$\begin{align}&9(x-1)^2+16(y+1)^2=1\\&\\&\frac{(x-1)^2} {\frac 1 9}+ \frac {(y+1)^2}{ \frac 1 {16}}=1\\&\\&\frac 1 9> \frac 1 {16}\\&\\&horizontal\end{align}$$

lo que multiplica en el denominador divide al denominador.

Lo que tu pones, si hicieras la suma, quedaría:

$$\begin{align}&\frac{(x-1)^2} { 16}+ \frac {(y+1)^2}{ 9}=1\\&\\&9(x-1)^2+16(y+1)^2=16·9\end{align}$$

C=(1,-1)

eje focal y=-1

$$\begin{align}&\frac{(x-1)^2} {\frac 1 9}+ \frac {(y+1)^2}{ \frac 1 {16}}=1\\&\\&V=(1+ \frac 1 3,-1)=( \frac 4 3,-1)\\&\\&V=(1- \frac 1 3,-1)=( \frac 2 3, -1)\\&\\&V'=(1, -1+ \frac 1 4)=(1,- \frac 3 4)\\&\\&V'(1,-1- \frac 1 4)=(1,- \frac 5 4)\\&\\&c^2=a^2-b^2= \frac 1 9- \frac 1 {16}= \frac 7 {144}\\&\\&c=\frac {\sqrt 7 }{12}\\&\\&F=(1+ \frac {\sqrt 7 }{12},-1)\\&\\&\\&F=(1- \frac {\sqrt 7 }{12},-1)\\&\\&e= \frac c a= \frac{\frac {\sqrt 7}{12}}{ \frac 1 3}= \frac{\sqrt 7} 4\\&\\&LR=\frac {2 b^2} a= \frac{2 \frac 1 {16}}{\frac 1 3}= \frac 3 8\end{align}$$