Como resuelvo la ecuacion diferencial separable y`=sen(x+y)-1
debo hallar la ecuación diferencial de y`=sen(x+y)-1 en variable separable
Respuesta de Santiago Seeker
Tenemos que aplicar una reducción a sepración de variables, para eso, consideramos una sustitución,
$$\begin{align}&\displaystyle u=x+y\\&\textrm{derivamos respecto de equis,}\\&\frac{du}{dx}=1+\frac{dy}{dx}\\&\textrm{Despejamos el diferencial de ye respecto de equis,}\\&\frac{dy}{dx}=\frac{du}{dx}-1\\&\\&\end{align}$$entonces podemos expresar la ecuación diferencial así,
$$\begin{align}&\frac{du}{dx}-1=\sin(u)-1\\&\frac{du}{dx}=\sin(u)\\&\frac{du}{\sin(u)}=dx\\&\textrm{integramos a ambos lados:}\\&\int{\frac{1}{\sin(u)}}du=\int{dx}\\&\textrm{la primera integral sería bueno que la demuestres, te queda}\\&\ln\left|\tan\left(\frac{x+y}{2}\right)\right|=x+C\\&\textrm{elevamos todo a la e potencia:}\\&e^{\ln\left|\tan\left(\frac{x+y}{2}\right)\right|}=e^{x}+e^{C}\\&\tan\left(\frac{x+y}{2}\right)=e^{x}+K\\&\textrm{si queremos obtener la solución explícita, debemos usar identidades tringonmétricas y nos queda}\\&y=2\cot^{-1}(e^{K-x})-x_{\blacksquare}\end{align}$$y eso sería todo espero te sirva y si tienes alguna duda me avisas
1 respuesta más de otro experto
Respuesta de Lucas m
;)
Ola Magaly!
Para separar variables hay que hacer una sustitución
u=x+y
$$\begin{align}&==>\\& \frac{du}{dx}=1+ \frac{dy}{dx} \ ==>\frac{dy}{dx}= \frac{du}{dx}-1\\&\\&\frac{dy}{dx}=sinu+1\\&\\&\frac{du}{dx}-1=\sin u +1\\&\\&\frac{du}{dx}=\sin u +2\\&\\&\frac{du}{sinu+2}=dx\\&\\&\int \frac{du}{sinu+2}=\int dx\\&\end{align}$$esa integral tiene miga:
Luego:
$$\begin{align}&\frac 2 { \sqrt 3} arctan \Bigg( \frac 2 {\sqrt 3}tan( \frac{x+y} 2)+ \frac 1 2\Bigg)=x+C\end{align}$$Saludos y recuerda votar
;)
;)
;) Vaya, es más fácil de lo que pensaba, puse mal el signo del 1:
$$\begin{align}&\frac{du}{dx}-1=\sin(u)-1\\&\frac{du}{dx}=\sin(u)\\&\frac{du}{\sin(u)}=dx\\&\textrm{}\\&\int{\frac{1}{\sin(u)}}du=\int{dx}\\&\textrm{}\\&\ln\left|\tan\left(\frac{x+y}{2}\right)\right|=x+C\\&\textrm{}\\&e^{\ln\left|\tan\left(\frac{x+y}{2}\right)\right|}=e^{x}+e^{C}\\&\tan\left(\frac{x+y}{2}\right)=e^{x}+K\\&\textrm{}\end{align}$$saludos
;)
;)