Hallar lim cuando equis vale cero

Bueno hay dos formas, la primera sería usar L´Hospital. Se usa cuando tenemos indeterminaciones del tipo

$$\begin{align}&\frac{0}{0},\frac{\pm\infty}{\pm\infty}\end{align}$$

y lo que haces es derivar en el numerador y derivar el denominador hasta que la indeterminacion desaparezca y obtengas el límite. Por lo general es un medio muy rápido y es como que trampa..jajaja. veamos,

$$\begin{align}&\lim_{x\rightarrow0}{\frac{\sqrt{2+x}-\sqrt{2}}{2x}}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{f'(x)}{g'(x)}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\frac{1}{2\sqrt{x+2}}}{2}\\&\textrm{y ahora si podemos calcular el límite de ésta nueva expresion}\\&\\&\lim_{x\rightarrow0}\frac{\frac{1}{2\sqrt{x+2}}}{2}=\frac{\frac{1}{2\sqrt{0+2}}}{2}=\frac{1}{4\sqrt{2}}\end{align}$$

o en que caso de que no te acostumbres a éste método, entonces podemos racionalizar la función, para eso suamos el conjugado, el conjugado de,

$$\begin{align}&\sqrt{x+2}-\sqrt{2}\\&\textrm{su conjugado es lo mismo pero cambiado el signo,}\\&\sqrt{x+2}+\sqrt{2}\end{align}$$

entonces racionalizamos,

$$\begin{align}&\left(\frac{\sqrt{2+x}-\sqrt{2}}{2x}\right)\left(\frac{\sqrt{2+x}+\sqrt{2}}{\sqrt{2+x}+\sqrt{2}}\right)=\frac{2+x-2}{2x(\sqrt{2+x}+\sqrt{2})}=\frac{1}{2(\sqrt{2+x}+\sqrt{2})}\\&\\&\lim_{x\rightarrow0}\frac{1}{2(\sqrt{2+x}+\sqrt{2})}=\frac{1}{2(\sqrt{2+0}+\sqrt{2})}=\frac{1}{4\sqrt{2}}\end{align}$$

y ese es el mismo resultado,...