Si la función y=x^4-4x^3+4x^2-4 cual es su V.alor E.xtremo y P. De Infle.xion

;)

Punto extremo es un máximo o un mínimo relativo, como los vértices de una parábola. La característica principal es que en esos puntos la recta tangente es horizontal. Luego la pendiente es cero. Luego la derivada vale 0.

Los puntos de inflexión son los puntos donde cambia la concavidad.De la teoría se demuestra que todos los p.i. cumplen que y''=0

Decimos que esas son condiciones necesarias de extremos (y'=0) ;

y de p.i (y''=0). Pero no suficientes hay que mirar si cambia o no el crecimiento a izquierda y derecha del extremo parA concluir que es un extremo. Por qué?

Porque por ejemplo

y =x^3

y'=3x^2=0==> x=0

Y''=6x°0 ==> x=0

Cumple las dos condiciones!

Pero qué es?

Extremo o P.i.?

Ahora observa la y'=3x^2>0==>siempre crece==> no es extremo===>Es p.i.

Otra cosa que debes conocer que la concavidad U hacia arriba o hacia abajo se conoce con el signo de la derivada segunda

Y''=6x

A la izquierda del 0 es y''<0 ==> cóncava hacia abajo

A la derecha del 0 y''>0 hacia arriba U

Los puntos de inflexión, la condición necesaria es que Y''=0 pero además ha de cambiar la concavidad (signo de la derivada segunda)

y'=4x^3-12x^2+8x

Extremo y'=0

4x (x^2-3x+2)=0

X=0

x^2-3x+2=0

X=1

X=2

Intervalos de crecimiento:

(-infinit,0)==>y'(-10)<0 calculamos, decrece

(0,1)==> y'(1/2)>0 ==> crece

(1,2). ==> y'(3/2)<0 ==> decrece

(2,+infinito)==> y'(10)>0 crece

De todo lo anterior se deduce que en

X=0 mínimo

X=1 máximo

X=2 mínimo

Calculas las imágenes de esos puntos f(x)

(0,-4) minimo

(1,-3) max

(2,-4) min

;)

P.i.

y''=12x^2-24x+8=0

Solución

X=1-√3/3=0,42

X=1+√3/3=1,57

Son p.i pues están entre

Mínimo y máximo

;)

Lucas, Muchas gracias por esta explicación, ya pude entender el tema :). me queda la duda en Punto de Inflexión

para que exista punto de inflexión debe existir el mínimo relativo y el máximo relativo?

o hay alguno caso en el que solo tendré mínimo relativo, pero también punto de Inflexión?

y su imagen esta dada en F''(x)=0

con la segunda derivada se que puedo hallar la imagen para el punto de inflexión, pero no si si se hace una análisis para saber si hay no criterio de Punto de Inflexión?

quizá si la segunda derivada es diferente de cero? 

o quizá si puedo hallar tercera deriva entonces tengo punto de inflexión?

cual es la condición