Todo vector en un espacio vectorial dado, se escribe de manera única como combinación lineal de los elementos de una base

Supongamos se puede escribir de dos formas distintas:

$$\begin{align}&v= \alpha_1b_1+...+\alpha_nb_n= \beta_1b_1+...+\beta_nb_n\\&\text{Tomemos el vector -v de una de las dos expresiónes}\\&-v=-\beta_1b_1-...-\beta_nb_n\\&\text {y los sumamos}\\&\\&0=v+(-v)= \alpha_1b_1+...+\alpha_nb_n-\beta_1b_1-...-\beta_nb_n=\\&\\&(\alpha_1-\beta_1)b_1+...+(\alpha_n-\beta_n)b_n=0\end{align}$$

Como hay al menos algún alfa sub i distinto de su correspondiente beta sub i, tendremos una combinación lineal de la base igualada al vector nulo con algún coeficiente distinto de 0.  Eso es absurdo ya que entonces la base no es un sistema libre, y las bases por definición son sistemas libres.