Determine la ecuación de las trayectorias ortogonales a la familia de curvas: 3x^2+y^2=kx

;)

Derivando

6x+2yy'=k

Despejando k en la función y sustituyendo

6x+2yy'=(3x^2+y^2)/x

Despejando y'

2yy'==(3x^2+y^2)/x  - 6x

2yy'=(-3x^2+y^2)/x

Y'=(-3x^2+y^2)/(2yx)

Ortogonales:

y'=(-2yx)/(y^2-3x^2)

Resolviendo esa ecuación diferencial

dy/dx=(-2yx)/(y^2-3x^2)

dy/dx=-2/(y/x -3x/y)

(y/x -3x/y) dy/dx=-2

Cambio variable

y/x =u. ==> y=ux ==> dy/dx =x du/dx + u

(u -3/u)(du/dx + u)=-2

du/dx=[-2/(u-3/u)]-u

du/dx=[-2u/(u^2-3)]-u

du/dx=(-2u-u^3+3u)/(u^2-3)

du/dx=(u-u^3)/(u^2-3)

Es EDO de variable s separables. Desde el móvil me resulta dificultoso resolver.

Inténtalo y sino mañana lunes la resolveremos

;)