Ecuación dada por cuatro puntos
Geometría analítica
Considerar los puntos A(-3,6), B(-3/2,3), C(√2,-2√2) y D(7/4,-7/2).
Encontrar una relación o una función y=f(x) tal que los puntos dados la cumplen. Proporcionar las coordenadas de otro par de puntos que cumplan la relación hallada
1 Respuesta
La función 'sencilla' que puedes hacer es un polinomio, y sabemos que para 'n' puntos, hay un polinomio de grado a lo sumo 'n-1' que pasa por dichos puntos.
Como tenemos 4 puntos, en este caso tendríamos un polinomio de grado 3. El término general es
$$\begin{align}&p(x) = ax^3+bx^2+cx+d\\&\text{Ahora remplacemos los valores conocidos para obtener 4 ecuaciones}\\&p(-3) =a (-3)^3+b (-3)^2+c (-3)+d = 6 \to-27a+9b-3c+d=6\\&p(-3/2) =a (-3/2)^3+b (-3/2)^2+c (-3/2)+d = 3 \to -\frac{27}{8}a+\frac{9}{4} b- \frac{3}{2}c+d=3\\&p(\sqrt{2}) =a (\sqrt{2})^3+b (\sqrt{2})^2+c (\sqrt{2})+d = -2 \sqrt{2} \to \sqrt{8} a +2b+\sqrt{2}c + d = -2 \sqrt{2}\\&p(7/4) =a (7/4)^3+b (7/4)^2+c (7/4)+d = -7/2 \to \frac{343}{64}a+\frac{49}{16} b+ \frac{7}{4}c+d=-\frac{7}{2}\\&\text{y ahora tienes un sistema de ecuaciones de 4x4, cuyos coeficientes son}\\&-27...9...-3...1...=...6\\&-\frac{27}{8}...\frac{9}{4}...-\frac{3}{2}...1...=...3\\&\sqrt{8}...2...\sqrt{2}...1...=...-2 \sqrt{2}\\&\frac{343}{64}...\frac{49}{16}...\frac{7}{4}...1...=...-\frac{7}{2}\end{align}$$Te dejo de ejercicio la triangulación de ese sistema, de ahí deberías despejar los 4 coeficientes del polinomio. (Cualquier duda pregunta)
Salu2
O sea se hace una matriz y debo resolverlo con el método de Gauss Jordan?
Exacto! Esa respuesta te va a dar los 4 coeficientes del polinomio
Salu2