¿Hallar las soluciones reales de una ecuación cúbica?
Mi profesora me dijo que teniendo que
$$\begin{align}&x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)*(x^2+y^2+z^2-yx-xz-xy)\\& = \frac{x+y+z}{2}*\{(y-z)^2+(z-x)^2+(x-y)^2\}\end{align}$$Ya demostrado lo use para resolver esto:
Halle las soluciones reales de la ecuación en x:
$$\begin{align}&x^3-3abx+a^3+b^3=0\end{align}$$donde a y b son dos números reales cualesquiera dados.
No entiendo cómo aplicar lo de arriba para resolver la ecuación.
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Veamos que sale...
Está claro que si hacemos (por ejemplo) y=a, z=b, entonces lo que te dieron es la parte izquierda de la definición que te dio tu profesora, así que veamos ahora...
$$\begin{align}&x^3-3abx+a^3+b^3=\frac{x+a+b}{2}\bigg((a-b)^2+(b-x)^2+(x-a)^2\bigg)=0\\&\text{Tenemos un producto igualado a cero, por lo tanto alguno de los factores (o ambos) debe ser cero, o sea:}\\&\frac{x+a+b}{2}=0\\&\lor\\&(a-b)^2+(b-x)^2+(x-a)^2=0\\&\text{El segundo término es una suma de valores positivos (o cero) ya que están todos al cuadrado}\\&\text{La única forma que eso sea cero es que cada miembro lo sea, por lo tanto sale que}\\&a=b, b=x, x=a \text{y todo igual a cero, escrito de otro modo sería}\\&a=b=x=0\\&\text{Respecto al primer término la cosa no es tan sencilla}\\&\frac{x+a+b}{2}=0 \to x+a+b=0\\&\text{y acá sí, hay infinitos resultados posibles si no hay más datos, lo que debe pasar es que}\\&x=-(a+b)\end{align}$$Salu2