Encuentre un complejo z que esté a la misma distancia de z_1,z_2,z_3 si z_1=2,z_2=-1+i,z_3=1+i

;)
Hola IGNAcio Morales Chino!

El punto que equidista de los tres vértices de un triángulo es el circuncentro. Luego buscamos el circuncentro del triángulo definido por esos tres complejos.

El circuncentro es el punto de corte de las mediatrices. Recuerda que una mediatriz es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidista de dos puntos.

Hemos de calcular dos mediatrices.

Sea z=x+iy=(x,y) los puntos de una mediatriz

Mediatriz         

$$\begin{align}&mediatriz\ z_1z_2\\&\\&|z-z_1|=|z-z_2|\\&\\&|x+iy-2|=|x+iy+1-i|\\&|(x-2)+yi|=|(x+1)+(y-1)i|\\&\\&(x-2)^2+y^2=(x+1)^2+(y-1)^2\\&x^2-4x+4+y^2=x^2+2x+1+y^2-2y+1\\&6x-2y-2=0\\&3x-y-1=0\\&\\&mediatriz \ z_1z_3\\&|z-z_1|=|z-z_3|\\&|x+iy-2|=|x+iy-(1+i)|\\&|(x-2)+yi|=|(x-1)+i(y-1)|\\&\\&(x-2)^2+y^2=(x-1)^2+(y-1)^2\\&x^2-4x+4+y^2=x^2-2x+1+y^2-2y+1\\&0=2x-2y-2\\&x-y-1=0\\&\\&\text{resolviendo el sistema}\\&3x-y-1=0\\&x-y-1=0\\&solución:\\&x=0\\&y=-1\\&\\&z=-i\end{align}$$

graficando:

Saludos

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