Producto de binomios y demostración de inecuación
Este ejercicio lo desarrollé por su producto de binomios pero no llego a nada, ojalá puedan ayudarme.
Si a, b, c son positivos y si a+b+c=1 demostrar que (1-a)*(1-b)*(1-c)≥8abc
(Perdón por no poner el eejercicio usando el método correcto pero lo escribo desde un teléfono)
1 respuesta
Respuesta de Lucas m
2
;)
Hola Paul!
De a+b+c=1 deducimos las igualdades
$$\begin{align}&a+b+c=1\\&==>\\&1-a=b+c\\&1-b=a+c\\&1-c=a+b\\&\\&La\ demostración \ queda \ ahora\\&(a+b)(b+c)(a+c)\geq8abc\\&\\&Obviamente\ sabemos\ que:\\&(a+b)^2=(a-b)^2+4ab\\&==>\\&a+b \geq 2 \sqrt {ab}\\&\\&Analogamente\\&b+c \geq 2 \sqrt {bc}\\&y\\&a+c \geq 2 \sqrt {ac}\\&\\&Multiplicando:\\&(a+b)(b+c)(a+c) \geq2^3 \sqrt{a^2b^2c^2}=8abc\\&\\&Luego \\&(1-a)(1-b)(1-c) \geq 8abc\\&\\&c.q.d.\end{align}$$c.q.d. como queríamos demostrar
Saludos y recuerda votar
;)
;)
Disculpa, podrías explicarme esta parte?
$$\begin{align}&a+b \ge 2 \sqrt{ab}\end{align}$$así como las otras desigualdades?
;)
Podrías votar!
;(
$$\begin{align}&(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\\&(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\\&\\&(a+b)^2=(a-b)^2+4ab\end{align}$$observa que el cuadrado de la suma es igual al cuadrado de la resta + 4ab.
El cuadrado de la resta es un número positivo, luego si lo elimino de la igualdad, queda:
$$\begin{align}&(a+b)^2\geq4ab\\&\\&como\ son \ positivos, haciendo \ la \ raíz \ cuadrada, \ también \ se \ cumple:\\&a+b \geq \sqrt{4ab}=2 \sqrt {ab}\end{align}$$;)
;)
