Encontrar el lugar geométrico de los puntos que equidistan del punto F(3,6)

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Hola Gabriel!

Esa es la definición de una parábola como lugar geométrico. Aplicando la definición:

Recuerda que la distancia de un punto (a,b) a una recta Ax+By+C=0, se calcula con la fórmula: |Aa+Bb+C|/√(A^2+B^2).

Sean X= (x,y) los puntos del plano que cumplen dicha propiedad

Distancia(X,F)=Distancia (X,r) 

r: x-8=0

√[(x-3)^2+(y-6)^2]=|1•x+0•y-8|/√1^2

Elevando al cuadrado:

(x-3)^2 +. (y-6)^2 =(x-8)^2

x^2-6x+9+y^2-12y+36=x^2-16x+64

10x+y^2-12y-19=0

Saludos

;)

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Muchas gracias Lucas, ¿osea qué en este caso no se refiere al foco? ¿Y para hallar el vértice puedo sumar el tres con el 8 y dividir por 2?

¿Es el único proceso con el cual se puede resolver?

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Cuando habla de lugar geométrico, lo calculo aplicando la propiedad que indica el problema.

Pero si ya sabes que eso es una parábola, y que no está girada ya que la directriz es la vertical x=3.

Procedemos a calcular el Vértice, que es el punto medio entre Foco y directriz, y que está en la recta y=6 (perpendicular a la directriz que pasa por el Foco) ==> V=

$$\begin{align}&V=(\frac {3+8} 2,6)=(\frac {11} 2,6)\\&\text{como el foco está dentro de la parábola, esta abierta a la izquierda, p<0)}\\&(y-k)^2=-4p(x-h)\\&\\&(y-6)^2=-4p(x- \frac{11} 2)\\&\\&F=(h-p,k)\\&3= \frac{11} 2 -p\\&\\&p= \frac{11}2 -3= \frac 5 2\\&\\&(y-6)^2=-4 \frac 5 2(x- \frac{11} 2)\\&\\&(y-6)^2=-10(x- \frac{11} 2)\end{align}$$

Comprobación: completando cuadrados

$$\begin{align}&10x+y^2-12y-19=0\\&y^2-12y=-10x+19\\&\\&(y-6)^2-36=-10x+19\\&\\&(y-6)^2=-10x+55\\&\\&(y-6)^2=-10(x-5.5)\\&\\&(y-6)^2=-10(x- \frac{11} 2)\\&c.q.d.\end{align}$$

Luego es correcto

Saludos

;)

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wow wow Lucas, nunca dejas de sorprender por tus conocimientos!

La fórmula que aplicas F=(h−p, k), es valida cuando es una parábola vertical: F(h, k-¿p)? Aunque si tengo parámetro seria,

Horizontal

F(h+p, k)

vertical   F(h, k-p)

para las directrices 

x=h-p

y=k-p 

.Estoy entiendo que haces una relación foco.directriz para hallar el parámetro, o como relacionas F=(h−p, ¿k)?

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Conociendo los 4 casos de parábolas trasladadas

http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Ecuacion_parabola2.html 

Y visualizando la parábola para cada caso,

Y comparándola con la no trasladada:

http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Ecuacion_parabola.html 

Abierta a la izquierda y sin trasladar F(-p, 0)

Como el foco es (3,6) y sabemos que el V=(5.5,6)=(h, k), significa que el foco se ha traladado a la derecha: F(-p+h, 6)

Saludos

;)

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Muchas gracias Lucas

en resumen, seria de la siguiente manera

Parabola horizontal, con vertice en (h,k)

$$\begin{align}&\longrightarrow horizontal, \ abre \  ramas  \  izquierda\\&(y-k)^2=-4p(x-h)\\&V(h,k)\\&F(h-p,k)\\&x=h-p\\&\\&\longrightarrow horizontal, \ abre \  ramas  \  derecha\\&(y-k)^2=4p(x-h)\\&V(h,k)\\&F(h+p,k)\\&x=h-p\\&\\&.............................................\end{align}$$

Parabola vertical, con vertice en (h,k)

$$\begin{align}&\longrightarrow vertical, \ abre \  ramas  \  hacia \  abajo\\&(x-h)^2=-4p(y-k)\\&V(h,k)\\&F(h,k-p)\\&y=k-p\\&\\&\longrightarrow vertical, \ abre \  ramas  \  hacia \  arriba\\&(x-h)^2=4p(y-k)\\&V(h,k)\\&F(h,k+p)\\&y=k-p\\&\\&.............................................\end{align}$$

tengo dudas en las directrices, o asi son?