3. Un problema de valor inicial es una ecuación diferencial ordinaria que tiene un valor especificado que se conoce como la cond

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¡Hola Oscar!

No está muy bien el enunciado, las Yp que ponen son genéricas luego no son soluciones particulares. Soslayando eso la respuesta a la primera pregunta sería la 3, ya que se debe probar con una función que sea un polinomio generico del mismo grado que la función de la derecha y con una combinación que tenga seno y coseno, la Yp de la solución 2 no tiene seno.

Y para la solución de y vemos que la 4 tiene todo senos, no me gusta, así que probaré con la 1.

$$\begin{align}&y=9\pi cosx+7senx+4x-5xcosx \\&y'=-9\pi senx+7cosx +4 -5cosx+5xsenx=-9\pi senx+2cosx+4+5xsenx\\&\\&y''=-9\pi cosx -2senx+5senx+5xcosx=-9\pi cosx +3senx+5xcosx\\&\\&y''+y=-9\pi cosx -2senx+5senx+5xcosx+9\pi cosx+7senx+4x-5xcosx =\\&\qquad\qquad 10senx+4x\\&\\&\text{De momento cumple la ecuación diferencial}\\&\\&y(\pi)=9\pi(-1)+0+4\pi-5\pi(-1)=-9\pi+4\pi+5\pi=0\quad  \text{ cumple}\\&\\&y'(\pi)=-9\pi·0+2·(-1)+4+5\pi·0=-2+4=2\quad \text{cumple}\end{align}$$

Luego la 1 cumple la ecuación diferencial y las dos condiciones iniciales, es la solución.