Encuentre la ecuación del lugar geométrico de los puntos P(x,y) cuya distancia al punto fijo (-2,3)
Geometría
Encuentre la ecuación del lugar geométrico de los puntos P(x, y) cuya distancia al punto fijo (-2,3) sea igual a su distancia a la recta x+6=0. Dibuje la gráfica de la cónica encontrada.
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Respuesta de Lucas m
1
;)
Hola Yani!
Esa es la definición de una parábola como lugar geométrico, donde el punto acaba siendo el Foco y la recta ladirectriz.
Para calcular la distancia de un punto a una recta (Ax+By+C=0), se aplica la fórmula:
$$\begin{align}&dis(P,r)=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\\&\\&Sean\\& P=(x,y)\\&\text{los puntos que verifican la propiedad}\\&dis(P,r)=\frac{|x+6|}{\sqrt{1^2+0^2}}=|x+6|\\&\\&dist(P,A)=\Big|\vec{AP}\Big|=\Big|(x+2,y-3)\Big|= \sqrt{(x+2)^2+(y-3)^2}\\&\\&\sqrt{(x+2)^2+(y-3)^2}=\Big|x+6\Big|\\&\\&(x+2)^2+(y-3)^2=(x+6)^2\\&\\&x^2+4x+4+y^2-6y+9=x^2+12x+36\\&\\&(y^2-6y)+13=8x+36\\&\text{completando cuadrados}\\&\\&(y-3)^2-9+13=8x+36\\&(y-3)^2=8x+32\\&\\&(y-3)^2=8(x+4)\\& 4p=8\\&p=2\\&\\&\text{parábola\ horizontal (de primer grado en x)}\\&\text{ abierta a la derecha}\ \ p>0\\&\\&Vértice(-4,3)\\&\\&Foco(-4+p,3)=(-2,3)\end{align}$$
Saludos
;)
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