¿Cómo resuelvo el siguiente límite matemático?

;)
Hola JHH

Ese limite se resuelve por L'Hopital!

Para ir más rápido recuerda que la derivada de : 1/x es -1/x^2

Y te hago un par de límites previos que salen durante la resolución:

$$\begin{align}&(*)\\&\lim_{x \to \infty} x·\sin \frac 1x=+ \infty·sin0=+\infty·0=\lim_{x \to \infty} \frac{ \sin \frac 1 x}{\frac 1 x}=\frac 0 0=L'Hopital=\\&\\&\lim_{x \to \infty} \frac{ - \frac 1 {x^2}\cos \frac 1 x}{- \frac 1{x^2}}=\lim_{x \to \infty} \cos \frac 1 x=cos0=1\\&\\&\text{luego en el numerador tenemos ln1=0}\\&\\&(**)\\&\lim_{x \to \infty} \frac 1 x \cos  \frac 1 x=0·cos0=0·1=0\\&\\&\text{Vamos al lío:}\\&\\&\lim_{x \to \infty}\frac{ln(x \sin \frac 1 x)}{ \frac 1 {x^2}}=\frac{ln1} 0= \frac 0 0=L'Hopital(derivando)=\\&\\&\lim_{x \to \infty}\frac{\frac{1 \sin \frac 1 x - x \frac 1 {x^2}\cos \frac 1 x}{x \sin \frac 1 x}}{-2x^{-3}}=- \frac 1 2\lim_{x \to \infty}\frac{x^3[\sin \frac 1 x-\frac 1x \cos \frac 1 x]}{x \sin \frac 1 x}=\\&\\&- \frac 1 2 \lim_{x \to \infty}\frac{[\sin \frac 1 x-\frac 1x \cos \frac 1 x]}{\frac 1 {x^2}\sin \frac 1 x}=- \frac 1 2  \frac{0-0}{0·0}= \frac 0 0= L'Hopital(derivando)=\\&\\&- \frac 1 2 \lim_{x \to \infty}\frac{-\frac 1 {x^2}\cos \frac 1 x-[- \frac 1 {x^2}\cos \frac 1 x+ \frac 1 x(- \frac 1{x^2})\sin \frac 1 x}{-2x^{-3}\sin \frac 1 x+\frac 1{x^2}(- \frac 1 {x^2})\cos \frac 1 x}=\\&\\&- \frac 1 2 \lim_{x \to \infty}\frac{-\frac 1 {x^2}\cos \frac 1 x+\frac 1 {x^2}\cos \frac 1 x+ \frac 1{x^3}\sin \frac 1 x}{-\frac 2 {x^3}\sin \frac 1 x- \frac 1 {x^4}\cos \frac 1 x}=\\&\\&- \frac 1 2 \lim_{x \to \infty}\frac{ \frac 1{x^3}\sin \frac 1 x}{-\frac 2 {x^3}\sin \frac 1 x- \frac 1 {x^4}\cos \frac 1 x}=\\&\\&- \frac 1 2 \lim_{x \to \infty}\frac{ \sin \frac 1 x}{- 2 \sin \frac 1 x- \frac 1 {x}\cos \frac 1 x}=\frac 0 0=L'Hopital(derivando)=\\&\\&- \frac 1 2 \lim_{x \to \infty} \frac{- \frac 1 {x^2}\cos \frac 1 x}{-2(- \frac 1 {x^2})\cos \frac 1 x-[- \frac 1 {x^2} \cos \frac 1 x+ \frac 1 x(- \frac 1 {x^2})(-\sin \frac 1 x]}=\\&\\&\frac 1 2 \lim_{x \to \infty} \frac{\cos \frac 1 x}{3cos \frac 1 x- \frac 1 x \sin \frac 1 x}= \frac 1 2·\frac 1{3-0}= \frac 1 6\\&\end{align}$$

saludos

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Repasa los signos

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