Vamos a intentar resolverlo...
$$\begin{align}&Planteo\\&\bigg(\sum_{k=1}^{n}x_k\bigg) \cdot \bigg(\sum_{k=1}^{n}y_k\bigg) \ge n^2\\&\text{Que escrito de otro modo, podría ser}\\&\bigg(\sum_{k=1}^{n}x_k\bigg) \cdot \bigg(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{x_k} \bigg) \ge n^2\\&\text{Ahora sí, intentemos demostrarlo por inducción}\\&Caso \ base (n=1)\\&\bigg(\sum_{k=1}^{1}x_k\bigg) \cdot \bigg(\sum_{k=1}^{1}\frac{1}{x_k} \bigg)=x_1\cdot \frac{1}{x_1} = 1 \ge 1^2 (Cumple)\\&Paso \ inductivo \ (P(n) \to^? P(n+1))\\&\bigg[ \bigg(\sum_{k=1}^{n}x_k\bigg) \cdot \bigg(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{x_k} \bigg) \ge n^2\bigg] \to ^? \bigg[ \bigg(\sum_{k=1}^{n+1}x_k\bigg) \cdot \bigg(\sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{x_k} \bigg) \ge (n+1)^2\bigg] \\&Veamos...\\&\sum_{k=1}^{n+1}x_k \cdot \sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{x_k} = \bigg(\sum_{k=1}^{n}x_k + x_{n+1}\bigg) \cdot \bigg(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{x_k} + \frac{1}{x_{n+1}}\bigg) = \\&\sum_{k=1}^{n}x_k \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{x_k} + x_{n+1} \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{x_k} + \frac{1}{x_{n+1}}\sum_{k=1}^{n}x_k + x_{n+1}\frac{1}{x_{n+1}} = \\&\sum_{k=1}^{n}x_k \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{x_k} + x_{n+1} \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{x_k} + \frac{1}{x_{n+1}}\sum_{k=1}^{n}x_k + 1 \ge (Hipotesis)\\&n^2 + x_{n+1} \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{x_k} + \frac{1}{x_{n+1}}\sum_{k=1}^{n}x_k + 1 \ge ^? (n+1)^2\\&\text{Para demostrar esta última desigualdad y que valga la inducción, desarrollamos el binomio de la derecha y nos queda demostrar que}\\& x_{n+1} \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{x_k} + \frac{1}{x_{n+1}}\sum_{k=1}^{n}x_k \ge 2n\\&\text{Antes de seguir voy a hacer 2 supuestos (\sin perder generalidad)}\\&\text{1. Hay al menos 2 valores (el caso donde n=1 ya lo probamos como caso base)}\\&\text{Sabemos que los valores son todos positivos, además voy a suponer que están ordenados de la seguiente manera: }\\&x_1 \le x_2 \le...\le x_n\\&\text{Si este no fuera el caso, podríamos considerar una nueva sucesión con los mismos valores pero ordenados, así que no perdemos generalidad con esto}\\&\text{Ahora sí, sigamos con la demostración}\\& x_{n+1} \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{x_k} + \frac{1}{x_{n+1}}\sum_{k=1}^{n}x_k =\\&\bigg(\frac{x_{n+1}}{x_1} + \frac{x_{n+1}}{x_2}+ ...+ \frac{x_{n+1}}{x_n} \bigg)+ \bigg(\frac{x_{1}}{x_{n+1}} + \frac{x_{2}}{x_{n+1}}+ ...+ \frac{x_{n}}{x_{n+1}} \bigg)=\\&\text{de la forma que construimos los valores los primero paréntesis tienen todos valores mayores que 1 (o iguales), }\\&\text{mientras que el segundo paréntesis tiene todos términos menores (o iguales) a 1}\end{align}$$
Hasta acá llegué por ahora, lo dejo hasta ahí por si te sirve y podés avanzar, sino intentaré volver más tarde (creo que se puede volver a intentar con inducción con la última parte que quedó (pero con el caso base cuando n=2)
Salu2
Excelente profe, como siempre! Salu2 - Anónimo
Hola maestro Valero gusto en saludarlo y gracias por el apoyo que nos brinda - jose daniel cebreros pardo