¿Cómo hallar la ecuación de la recta tangente?

El ejercicio se reduce a:

1) Obtener el valor de f(1);  (el valor de la función en x=1);

2) Obtener la pendiente (m) en x=1, que es igual a la primera derivada en x=1;

3) Aplicar la ecuación de la recta en dos maneras:

a) m = (y-y1) / (x-x1); y reemplazar por los valores de m(1); f(1);  x(1)que es igual a 1 (por enunciado).

b) Despejar el valor de y (o f(x), como quieras llamarlo), quedando contestada tu consigna en la forma de y=mx + b.

Intentemos ahora hacer todo lo anterior:

1) f(x)=3(x-1)^4 e^(x/3) - [e^(-x/3) / √x] + ln5;

f(1) = 3*(1-1)^4 e^(1/3) - [e^(-1/3) / √1] + ln5;  el primer término vale 0;

f(1) = [- e^(-1/3) + ln5].

2) f '(x) = 3*4(x-1)^3 e^(x/3) + 3(x-1)^4 *(1/3)*e^(x/3) - 

         - { (-1/3)e^(-x/3) * √x - [e^(-x/3)/2√x] } / x. 

Ver que:  d(ln5) = 0.

Como sólo necesito f ' (1), reemplazo a x por 1:

f ' (1) = 12(1-1)^3 e^(1/3) + 3(1-1)^4 *(1/3)*e^(1/3) - 

         - { (-1/3)e^(-1/3) * √1 - [e^(-1/3)/2√1] } / 1.

El primer renglón se hace 0 + 0; queda:

f ' (1) = - { (-1/3)e^(-1/3) - [e^(-1/3)/2]}; o:  (1/3)e^(-1/3) + [e^(-1/3)/2]; o:

e^(-1/3) [(1/3) + (1/2)];  o:

f ' (1) = (5/6)* e^(-1/3);  que es nuestra pendiente de la recta, o m.

3) a):  m= (y - y1) / (x - x1);

(recordar que y(1) = f(1) ); y que x(1)= 1;   reemplazo:

(5/6)* e^(-1/3) = {y - [- e^(-1/3) + ln5] } / (x - 1);

(x-1)*(5/6)* e^(-1/3) = y + e^(-1/3) - ln5;

(5/6)*e^(-1/3)*x - (5/6)*e^(-1/3) = y + e^(-1/3) - ln 5;  despejo y:

y = (5/6)*e^(-1/3)*x - (5/6)*e^(-1/3) - e^(-1/3) + ln 5; 

y = (5/6)*e^(-1/3)*x - (11/6)*e^(-1/3)  + ln 5;  

que es tu respuesta en la forma de y= mx + b;  observa que:

b=- (11/6)*e^(-1/3)  + ln 5; que también puedes expresar como:

y = 0.5971 x + 0.2958

Lo apreciaría mejor la resolución en una hoja, gracias!