Hallar la ecuación general del plano

La forma más práctica para hallar un plano, es a través de su recta normal, vos tenés tres condiciones, perpendicular a un plano, hay infinitos, que pase por un punto, infinitos con una misma recta común, y que pase por dos puntos, solo 1. La recta normal se puede obtener con cualquier punto del plano y su vector director, normal al plano también. Entonces, vos tenés dos puntos que deben pertenecer al plano, los cuales te determinan un vector A-B (o al revés, es igual) = (1,1,-4). A su vez, sabemos que los coeficientes que multiplican a las variables en la ecuación cartesiana de un plano, forman el vector normal al plano, y en tu plano dato sería n=(2,-3,7). Ahora bien, ese vector es normal al plano dato, y el plano dato debe ser perpendicular al nuevo plano que querés hallar, por lo que ese vector, o uno paralelo a él, debe ser contenido en tu nuevo plano. Con ese vector contenido en el plano y el otro vector de los puntos, contenidos en el plano, tenés dos vectores que en caso de no ser, como es el caso, paralelos, determinan un único plano. ¿Cómo obtenemos el vector normal al nuevo plano? Haciendo el producto vectorial de ambos vectores, ya que ésto da un vector perpendicular a ambos, y como ambos forman un plano, el nuevo vector será perpendicular al nuevo plano, y eso es lo que necesitas. El nuevo vector seria Npi=(A-B)×(n) (× o ^, denotando producto vectorial). Esto da Npi=(-5,-15,-5), y obtenemos la primera aproximación al plano: pi: -5x -15y -5z +D = 0, y esa D la hallas al poner cualquier punto del plano en las variables x, y, z, y despejando. Por ejemplo el punto (1,0,3) que es dato: pi: -5(1)-15(0)-5(3)+D=0 --> D = 20. El plano pi está definido por: 5x +15y +5z = 20 (despejando para dar todo positivo), o si sacamos factor comun 5: x+3y+z=4