Quiero saber cual es la falla en mi moto

Tengo una moto scooter, la tuve parada un mes y la bateria se me descargo en ese tiempo lleve a cargar la bateria y la cargaron pero me dijeron que habia costado un poco revivirla, se la puse a la moto y me costo un monton arrancarla con el pedal ya que con el electrico no arrancaba, ya que logro arrancar, encendia a la primera con el start y pedal paso que al otro dia ya no quiso arrancar asi que le puse bujia nueva, y la lleve al mecanico a que la arrancara, mientras limpiaba el carburador puso a cargar la bateria y con los cables puestos a los bornes le dio arranque y arranco a la primera... Me la entrego y estaba perfecta, luego la deje apagada mas o menos una hora y cuando la volvi a arrancar sali a dar la vuelta pero cuando aceleraba pareciera como si se ahogara y ya despues de 3 minutos normalizo...

La anduve rodando por un buen rato, la apague algunas veces y volvi a encender y la moto arrancaba sin problemas con el arranque electrico, fui a comer deje aparcada la moto y ahi me dio la noche y el clima era frio, cuando sali intente arrancarla con el start y nada asi que le di con el pedal y me costo bastante ya que se ahogaba en cada intento, al fin logre arrancarla me fui a la casa y la apague y para probar la volvi a encender y no habia problema alguno en el arranque (ya caliente arranca a la perfeccion), la deje esa noche y al otro dia quise arrancarla y no quiso prender, primero descargue la bateria y nada... Puse a cargar la bateria y me marcaba 12.7v asi que la puse a la moto e intente arrancarla y con la primera prueva se descargo, medi el voltaje y me mostraba una caida ya que de carga tenia 11.6v, quite la bateria y la deje un rato sin ponerla a cargar y al rato que vuelvo a ver me marca 12.1v.

¿Es normal que de esas bajas y subidas de voltaje la bateria?

¿Sera qué mi problema es bateria?

De ser la bateria la qur esta dañada si pongo una nueva, ¿creen qué se corrija mi problema de arranque en frio?